Koule přivázaná na konci provazu

Úloha číslo: 150

Koule o hmotnosti m přivázaná na konci provazu délky L se pohybuje po kružnici ve svislé rovině. V nejvyšším bodě trajektorie je napětí provazu právě nulové. Určete velikost rychlosti koule v místech, kde je provaz vodorovný, a v nejnižším bodě. Jak velkou silou je provaz v těchto místech napínán? Odpor vzduchu a hmotnost provazu neuvažujte.

Poznámka: Místo velikost rychlosti píšeme dále jen rychlost.

  • Zápis

    m hmotnost koule
    L délka provazu
    T1 = 0 velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v nejvyšším bodě trajektorie
    T2 = ? velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v okamžiku, kdy je provaz poprvé vodorovně
    T3 = ? velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v nejnižším bodě trajektorie
    T4 = ? velikost tahové síly, kterou na kouli působí provaz v okamžiku, kdy je provaz podruhé vodorovně
    v1 = ? rychlost koule v nejvyšším bodě trajektorie
    v2 = ? rychlost koule v okamžiku, kdy je provaz poprvé vodorovně
    v3 = ? rychlost koule v nejnižším bodě trajektorie
    v4 = ? rychlost koule v okamžiku, kdy je provaz podruhé vodorovně
  • Rozbor

    S využitím 2. Newtonova zákona zjistíme nejprve rychlost koule v nejvyšším bodě. Rychlosti v dalších bodech určíme pomocí zákona zachování mechanické energie. K určení síly, kterou je napínán provaz, pak použijeme 2. Newtonův zákon.

  • Nápověda 1 - rychlost koule v nejvyšším bodě

    Nakreslete si obrázek a vyznačte body, které nás zajímají, přičemž bod 1 značí nejvyšší bod. Zakreslete si všechny síly působící na kouli v nejvyšším bodě a napište pro ni pohybovou rovnici.

  • Nápověda 2 - rychlost koule v dalších bodech

    Při pohybu koule z bodu 1 postupně do bodu 2, 3, 4 se mění jak její potenciální, tak kinetická energie, ale celková mechanická energie se zachovává. Platí tedy zákon zachování mechanické energie (ZZME). Zvolte hladinu nulové potenciální energie. Napište, jaká je celková mechanická energie koule v bodě 1 a v bodě 2, a vyjádřete odtud rychlost v2. Obdobně postupujte pro další body.

  • Nápověda 3 - síla, kterou je napínán provaz

    Nakreslete si do obrázku všechny síly, které působí na kouli v bodech 2, 3 a 4. Napište pohybové rovnice pro kouli v těchto bodech a vyjádřete z nich hledané tahové síly.

  • Odpověď

    V nejvyšším bodě je velikost rychlosti koule rovna \(v_1=\sqrt{gL}\) a síla, kterou je provaz v tomto bodě napínán, je nulová.

    V bodech 2 a 4 je velikost rychlosti koule rovna \(v_2=v_4=\sqrt{3gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_2^{'}=T_4^{'}=3mg\).

    V bodě 3 je velikost rychlosti koule rovna \(v_3=\sqrt{5gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_3^{'}=6mg\).

  • Celkové řešení

    S využitím 2. Newtonova zákona zjistíme nejprve rychlost koule v nejvyšším bodě. Rychlosti v dalších bodech určíme pomocí zákona zachování mechanické energie (ZZME). K určení síly, kterou je napínán provaz, pak použijeme 2. Newtonův zákon.

    Působící síly v nejvyšším bodě

    V nejvyšším bodě trajektorie působí na kouli tíhová síla \(\vec{F_\mathrm{G}}\) a tahová síla \(\vec{T_1}\), kterou na kouli působí provaz. Zrychlení koule \(\vec{a_\mathrm{d}}\) směřuje dolů ke středu kružnice.

    Pohybová rovnice pro kouli:

    \[\vec{T_1}+\vec{F_\mathrm{G}}\,=\,m\vec{a_\mathrm{d}}.\tag{1}\]

    Obě síly leží v přímce, pohybovou rovnici přepíšeme skalárně:

    \[T_1+F_\mathrm{G}\,=\,ma_\mathrm{d},\] \[T_1+mg\,=\,ma_\mathrm{d},\]

    \(m\)…hmotnost koule,

    \(g\)…tíhové zrychlení.

    Tahová síla provazu je v nejvyšším bodě nulová, \(T_1\,=\,0\):

    \[mg\,=\,ma_\mathrm{d}.\]

    Normálové zrychlení koule vyjádříme vztahem:

    \[a_\mathrm{d} \,=\, \frac{v_1^2}{L},\]

    \(v_1\)…rychlost koule v nejvyšším bodě,

    \(L\)… délka provazu,

    \[mg\,=\,m\frac{v_1^2}{L}.\]

    Odsud si vyjádříme rychlost koule \(v_1\):

    \[v_1\,=\,\sqrt{gL}.\tag{2}\]

    Při pohybu koule z bodu 1 postupně do bodu 2, 3, 4 se mění jak její potenciální, tak kinetická energie, ale celková mechanická energie se zachovává. Platí tedy zákon zachování mechanické energie (ZZME). Zvolíme hladinu nulové potenciální energie. Napíšeme, jaká je celková mechanická energie koule v bodě 1 a v bodě 2, a odtud vyjádříme rychlost v2. Podobně budeme postupovat pro další body.

    Rychlosti v jednotlivých bodech

    Pohyb koule z bodu 1 do bodu 2:

    \[\mathrm{ZZME:} \hspace{15px} E_\mathrm{k1}+E_\mathrm{p1}\,=\,E_\mathrm{k2}+E_\mathrm{p2},\]

    \(E_\mathrm{k1}\)…kinetická energie koule v bodě 1,

    \(E_\mathrm{k2}\)…kinetická energie koule v bodě 2,

    \(E_\mathrm{p1}\)…potenciální energie koule v bodě 1,

    \(E_\mathrm{p2}\)…potenciální energie koule v bodě 2,

    \[\frac{1}{2}mv_1^2+mg2L\,=\,\frac{1}{2}mv_2^2+mgL.\]

    Ze vztahu (2) dosadíme za rychlost v1:

    \[\frac{1}{2}mgL+mg2L\,=\,\frac{1}{2}mv_2^2+mgL.\]

    Rovnici vydělíme hmotností koule m, vynásobíme dvěma a vyjádříme rychlost v2:

    \[gL+4gL\,=\,v_2^2+2gL,\] \[3gL\,=\,v_2^2,\] \[v_2\,=\,\sqrt{3gL}.\tag{3}\]

    Pohyb koule z bodu 2 do bodu 3:

    \[\mathrm{ZZME:} \hspace{15px} E_\mathrm{k2}+E_\mathrm{p2}\,=\,E_\mathrm{k3}+E_\mathrm{p3},\]

    \(E_\mathrm{k3}\)…kinetická energie koule v bodě 3,

    \(E_\mathrm{p3}\)…potenciální energie koule v bodě 3,

    V bodě 3 je potenciální energie koule nulová, \(E_\mathrm{p3}\,=\,0:\)

    \[E_\mathrm{k2}+E_\mathrm{p2}\,=\,E_\mathrm{k3}+0,\] \[\frac{1}{2}mv_2^2+mgL\,=\,\frac{1}{2}mv_3^2.\]

    Za rychlost v2 dosadíme ze vztahu (3):

    \[\frac{1}{2}m3gL+mgL\,=\,\frac{1}{2}mv_3^2.\]

    Rovnici vydělíme hmotností koule m, vynásobíme dvěma a vyjádříme rychlost v3:

    \[3gL+2gL\,=\,v_3^2,\] \[v_3\,=\,\sqrt{5gL}.\tag{4}\]

    Pohyb koule z bodu 3 do bodu 4:

    \[\mathrm{ZZME:} \hspace{15px} E_\mathrm{k3}+E_\mathrm{p3}\,=\,E_\mathrm{k4}+E_\mathrm{p4},\]

    \(E_\mathrm{k4}\)…kinetická energie koule v bodě 4,

    \(E_\mathrm{p4}\)…potenciální energie koule v bodě 4,

    \[E_\mathrm{k3}+0\,=\,E_\mathrm{k4}+E_\mathrm{p4},\] \[\frac{1}{2}mv_3^2\,=\,\frac{1}{2}mv_4^2+mgL.\]

    Za rychlost v3 dosadíme ze vztahu (4):

    \[\frac{1}{2}m5gl\,=\,\frac{1}{2}mv_4^2+mgL.\]

    Rovnici vydělíme hmotností koule m, vynásobíme dvěma a vyjádříme rychlost v4:

    \[5gl\,=\,v_4^2+2gL,\] \[v_4\,=\,\sqrt{3gL}.\tag{5}\]

    Nakreslíme do obrázku všechny síly, které působí na kouli v bodech 2, 3 a 4. Napíšeme pohybové rovnice pro kouli v těchto bodech a vyjádříme z nich hledané tahové síly.

    Působící síly

    V nejvyšším bodě je podle zadání síla, kterou je napínán provaz, nulová:

    \[T_1^{'}\,=\,0.\]

    Pohybová rovnice pro kouli v bodě 2:

    \[\vec{T_2}+\vec{F_\mathrm{G}}\,=\,m\vec{a},\]

    \(T_2\)…síla, kterou působí provaz na kouli v bodě 2.

    Přepíšeme pohybovou rovnici skalárně. Souřadný systém volíme tak, že osa x směřuje ve směru pohybu koule a osa y do středu kružnice (viz obrázek).

    Souřadný systém v bodě 2

    x-ová složka:

    \[F_\mathrm{G}\,=\,ma_\mathrm{t},\]

    \(a_\mathrm{t}\)…tečné zrychlení.

    y-ová složka:

    \[T_2\,=\,ma_\mathrm{d},\]

    \(a_d\)…normálové zrychlení.

    Velikost normálového zrychlení koule v bodě 2 je rovna:

    \[a_\mathrm{d}\,=\,\frac{v_2^2}{L},\] \[T_2\,=\,\frac{mv_2^2}{L}\,=\,\frac{m3gL}{L}\,=\,3mg.\]

    Tahová síla \(T_2^{'}\), kterou je napínán provaz v bodě 2, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla T2, kterou působí provaz na kouli, ale opačného směru:

    \[T_2^{'}\,=\,T_2\,=\,3mg.\]

    Analogická je situace v bodě 4. Protože je rychlost koule v bodech 2 a 4 stejně velká, je stejně velká i síla T4, kterou na ni působí provaz, a tedy i tahová síla \(T_4^{'}\), kterou je provaz napínán:

    \[T_4\,=\,ma_d\,=\,\frac{mv_4^2}{L}\,=\,3mg,\] \[T_4^{'}\,=\,T_4\,=\,3mg.\]

    Pohybová rovnice pro kouli v bodě 3:

    \[\vec{T_3}+\vec{F_\mathrm{G}}\,=\,m\vec{a_\mathrm{d}},\]

    \(T_3\)…síla, kterou působí provaz na kouli v bodě 3.

    Přepíšeme pohybovou rovnici skalárně. Souřadný systém volíme tak, že osa x směřuje ve směru pohybu koule a osa y do středu kružnice (viz obrázek):

    Souřadný systém v bodě 3
    \[T_3-F_\mathrm{G}\,=\,ma_\mathrm{d},\] \[T_3-F_\mathrm{G}\,=\,m\frac{v_3^2}{L},\] \[T_3-mg\,=\,m\frac{5gL}{L},\] \[T_3\,=\,mg+5mg,\] \[T_3\,=\,6mg.\]

    Podle 3. Newtonova zákona opět platí, že síla \(T_3^{'}\), kterou je napínán provaz v bodě 3, je stejně velká jako síla T3, kterou působí provaz na kouli, ale opačného směru:

    \[T_3^{'}\,=\,T_3\,=\,6mg.\]

    Odpověď:

    V nejvyšším bodě je velikost rychlosti koule rovna \(v_1\,=\,\sqrt{gL}\) a síla, kterou je provaz v tomto bodě napínán, je nulová.

    V bodech 2 a 4 je velikost rychlosti koule rovna \(v_2\,=\,v_4\,=\,\sqrt{3gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_2^{'}\,=\,T_4^{'}\,=\,3mg\).

    V bodě 3 je velikost rychlosti koule rovna \(v_3\,=\,\sqrt{5gL}\) a velikost síly, kterou je provaz napínán, je rovna \(T_3^{'}\,=\,6mg\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994. 
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994. Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze