Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Mechanika

Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna
 
Zadanie jakościowe
Zadanie graficzne
Zadanie z nietypowym rozwiązaniem
Zadanie złożone
Zadanie teoretyczne
 
 

Przyspieszenie dośrodkowe rakiety

Kod zadania 708

Rakieta obiega Ziemię na wysokości 400 km. Określ wartość przyspieszenia dośrodkowego rakiety. Porównaj odpowiedź z wartością przyspieszenia grawitacyjnego g na powierzchni ziemi.

  • Uwaga

    Przy rozwiązaniu zakładamy, że Ziemia jest kulą o promieniu 6378 km.

  • Zapis danych
    \(h=400\mathrm{km}\) wysokość rakiety nad powierzchnią ziemi
    \(a_{d}=\,?\,(\mathrm{m\cdot s^{-2}})\) przyspieszenie dośrodkowe


    Z tablic:
    \(R_{z}=6 378 \mathrm{km}\) promień Ziemi
    \(\kappa=\,6{,}67\cdot {10^{-11}} \mathrm{N\cdot m^2 \cdot kg^{-2}}\) stała grawitacji
    \(M_{z}=\, 5{,}98 \cdot {10^{24}} \mathrm{km} \) masa Ziemi
  • Podpowiedź: rodzaj ruchu

    Jak można sklasyfikować rodzaj ruchu rakiety ze względu na tor i prędkość?

    • Chodzi o ruch jednostajny po okręgu.

     

  • Podpowiedź: rodzaj siły
    Jaka siła działa na rakietę z punktu widzenia układu inercjalnego? Jaka siła zakrzywia tor jej ruchu? Jak ją obliczyć?
    • Na rakietę działa siła grawitacji Ziemi! (Zaniedbujemy oddziaływania grawitacyjne innych ciał.)

      Według prawa powszechnej grawitacji Newtona:

      \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,,\]

      gdzie κ to stała grawitacji, m masa rakiety, Mz masa Ziemi, Rz promień Ziemi a h wysokość nad powierzchnią.

     

  • Podpowiedź: rodzaj siły inaczej

    Jaka siła odpowiada za ruch po okręgu, jak ją wyrażamy? Jak ma się do siły grawitacji w naszym przykładzie?

    • W ruchu po okręgu za zakrzywienie toru odpowiada siła dośrodkowa

      \[F_d\,=\,ma_d\,,\]

      gdzie m to masa ciała a ad przyspieszenie dośrodkowe.

      Siła dośrodkowa nie jest jakimś nowym rodzajem siły, jej rolę pełni w różnych sytuacjach jakaś inna, znana nam siła – naciągu, grawitacyjna, elektrostatyczna… W naszym przykładzie jest nią siła grawitacji.

     

  • Podpowiedź: samodzielna analiza

    Biorąc pod uwagę powyższe podpowiedzi, spróbuj samodzielnie przeanalizować zagadnienie i określić wartość przyspieszenia dośrodkowego.

    • Jak zauważyliśmy, siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej. Możemy więc zapisać równość:

      \[F_g\,=\,F_d\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,=\,ma_d\]

      Stąd:

      \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\]

      Podstawiamy wartości:

      \[\kappa\,=\,6{,}67\cdot{10^{-11}}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}}\] \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg}\] \[a_{d}=(6{,}67\cdot{10^{-11}}\cdot\frac{5{,}98\cdot{10^{24}}}{(6{,}378\cdot{10^{6}}+4\cdot{10^{5}})^2})\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\]

      Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemig = 9,81 m·s−2, obliczona wartość przyspieszenia ad = 8,68 m·s−2 ≈ 0,88g.

     

  • Rozwiązanie

    Rakieta porusza się ruchem jednostajnym po okręgu. Działa na nią siła grawiatcji Ziemi Fg. Ta właśnie siła zakrzywia trajektorię rakiety. Zgodnie z prawem powszechnej grawitacji:

    \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,,\]

    gdzie κ to stała grawitacji, m masa rakiety, Mz masa Ziemi, Rz promień Ziemi a h wysokość nad powierzchnią.

    Jednocześnie w ruchu po okręgu występuje siła dośrodkowa

    \[F_d\,=\,ma_d\,,\]

    gdzie m to masa ciała, a ad przyspieszenie dośrodkowe.

    Siła dośrodkowa nie jest nowym rodzajem siły; jej rolę mogą pełnić w różnych sytuacjach siła naciągu, grawitacyjna, elektrostatyczna… W naszym przykładzie jest nią siła grawitacji, tak więc:

    \[F_g\,=\,F_d\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,=\,ma_d\]

    Stąd:

    \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\]

    Podstawiając wartości:

    \[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}}\] \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg}\] \[a_{d}=(6{,}67\cdot{10^{-11}}\cdot\frac{5{,}98\cdot{10^{24}}}{(6{,}378\cdot{10^{6}}+4\cdot{10^5})^2})\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\]

    Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi g = 9,81 m·s−2, obliczona wartość przyspieszenia ad = 8,68 m·s−2 ≈ 0,88g.

  • Odpowiedź

    Na rakietę działa przyspieszenie dośrodkowe \(a_{d}=\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), co odpowiada 0,88g.

http://physicstasks.eu/index.php?jazyk=pl
Aktualizowane: 28. 7. 2013
W przypadku problemów prosimy o kontakt z administratorem.