Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Mechanika

Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna
 
Zadanie jakościowe
Zadanie jakościowe
Zadanie jakościowe
Zadanie jakościowe
Zadanie jakościowe
 
 

Przyspieszenie dośrodkowe rakiety

Kod zadania 708

Rakieta obiega Ziemię na wysokości 400 km. Określ wartość przyspieszenia dośrodkowego rakiety. Porównaj odpowiedź z wartością przyspieszenia grawitacyjnego g na powierzchni ziemi.

  • Uwaga

    Przy rozwiązaniu zakładamy, że Ziemia jest kulą o promieniu 6378 km.

  • Zapis danych
    \(h=400\mathrm{km}\) wysokość rakiety nad powierzchnią ziemi
    \(a_{d}=\,?\,(\mathrm{m\cdot s^{-2}})\) przyspieszenie dośrodkowe


    Z tablic:
    \(R_{z}=6 378 \mathrm{km}\) promień Ziemi
    \(\kappa=\,6{,}67\cdot {10^{-11}} \mathrm{N\cdot m^2 \cdot kg^{-2}}\) stała grawitacji
    \(M_{z}=\, 5{,}98 \cdot {10^{24}} \mathrm{km} \) masa Ziemi
  • Podpowiedź: rodzaj ruchu

    Jak można sklasyfikować rodzaj ruchu rakiety ze względu na tor i prędkość?

    • Chodzi o ruch jednostajny po okręgu.

     

  • Podpowiedź: rodzaj siły
    Jaka siła działa na rakietę z punktu widzenia układu inercjalnego? Jaka siła zakrzywia tor jej ruchu? Jak ją obliczyć?
    • Na rakietę działa siła grawitacji Ziemi! (Zaniedbujemy oddziaływania grawitacyjne innych ciał.)

      Według prawa powszechnej grawitacji Newtona:

      \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,,\]

      gdzie κ to stała grawitacji, m masa rakiety, Mz masa Ziemi, Rz promień Ziemi a h wysokość nad powierzchnią.

     

  • Podpowiedź: rodzaj siły inaczej

    Jaka siła odpowiada za ruch po okręgu, jak ją wyrażamy? Jak ma się do siły grawitacji w naszym przykładzie?

    • W ruchu po okręgu za zakrzywienie toru odpowiada siła dośrodkowa

      \[F_d\,=\,ma_d\,,\]

      gdzie m to masa ciała a ad przyspieszenie dośrodkowe.

      Siła dośrodkowa nie jest jakimś nowym rodzajem siły, jej rolę pełni w różnych sytuacjach jakaś inna, znana nam siła – naciągu, grawitacyjna, elektrostatyczna… W naszym przykładzie jest nią siła grawitacji.

     

  • Podpowiedź: samodzielna analiza

    Biorąc pod uwagę powyższe podpowiedzi, spróbuj samodzielnie przeanalizować zagadnienie i określić wartość przyspieszenia dośrodkowego.

    • Jak zauważyliśmy, siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej. Możemy więc zapisać równość:

      \[F_g\,=\,F_d\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,=\,ma_d\]

      Stąd:

      \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\]

      Podstawiamy wartości:

      \[\kappa\,=\,6{,}67\cdot{10^{-11}}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}}\] \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg}\] \[a_{d}=(6{,}67\cdot{10^{-11}}\cdot\frac{5{,}98\cdot{10^{24}}}{(6{,}378\cdot{10^{6}}+4\cdot{10^{5}})^2})\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\]

      Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemig = 9,81 m·s−2, obliczona wartość przyspieszenia ad = 8,68 m·s−2 ≈ 0,88g.

     

  • Rozwiązanie

    Rakieta porusza się ruchem jednostajnym po okręgu. Działa na nią siła grawiatcji Ziemi Fg. Ta właśnie siła zakrzywia trajektorię rakiety. Zgodnie z prawem powszechnej grawitacji:

    \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,,\]

    gdzie κ to stała grawitacji, m masa rakiety, Mz masa Ziemi, Rz promień Ziemi a h wysokość nad powierzchnią.

    Jednocześnie w ruchu po okręgu występuje siła dośrodkowa

    \[F_d\,=\,ma_d\,,\]

    gdzie m to masa ciała, a ad przyspieszenie dośrodkowe.

    Siła dośrodkowa nie jest nowym rodzajem siły; jej rolę mogą pełnić w różnych sytuacjach siła naciągu, grawitacyjna, elektrostatyczna… W naszym przykładzie jest nią siła grawitacji, tak więc:

    \[F_g\,=\,F_d\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,=\,ma_d\]

    Stąd:

    \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\]

    Podstawiając wartości:

    \[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}}\] \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg}\] \[a_{d}=(6{,}67\cdot{10^{-11}}\cdot\frac{5{,}98\cdot{10^{24}}}{(6{,}378\cdot{10^{6}}+4\cdot{10^5})^2})\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\]

    Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi g = 9,81 m·s−2, obliczona wartość przyspieszenia ad = 8,68 m·s−2 ≈ 0,88g.

  • Odpowiedź

    Na rakietę działa przyspieszenie dośrodkowe \(a_{d}=\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), co odpowiada 0,88g.

http://physicstasks.eu/index.php?jazyk=pl
Aktualizowane: 28. 7. 2013
W przypadku problemów prosimy o kontakt z administratorem.