Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Łódka

Kod zadania: 733

• Zapis

  \(v=4 \mathrm{km\cdot h^{-1}}\)	prędkość łódki względem wody
  \(r=1{,}6 \mathrm{km\cdot h^{-1}}\)	prędkość prądu rzeki
  \(t\)	czas potrzebny na przepłynięcie z miasta A do B i z powrotem
  \(t'\)	czas potrzebny na przepłynięcie tej samej odległości po jeziorze
  \(\frac{t}{t'}\,=\,\mathrm{?}\)

• Podpowiedź 1: Prędkość, z jaką płynie łódka z miasta A do miasta B

  Narysuj obrazek pokazujący ruch łódki i zaznacz na nim obie prędkości, czyli prędkość łódki względem rzeki i prędkość prądu w rzece.

  Wyznacz prędkość łódki względem brzegu. Zastanów się, w jakim czasie łódka pokona odległość między miastami A i B.

• Rysunek naprowadzający 1

  

   

  Zakładamy, że odległość między miastami A i B wynosi s km. Prędkość łódki względem brzegu można obliczyć jako różnicę prędkości łódki względem wody i prędkości prądu rzeki:

  \[v_1\,=\,v-r\,.\]

  Łódka pokona odległość s w czasie:

  \[t_1\,=\,\frac{s}{v_1}\,=\,\frac{s}{v-r}\,.\]

• Podpowiedź 2: Prędkość, z jaką łódka płynie z miasta B do miasta A

  Narysuj obrazek pokazujący ruch łódki z miasta b do miasta A i zaznacz prędkość łódki względem rzeki oraz prędkość nurtu rzeki. Wyznacz prędkość łódki względem brzegu. Następnie wyznacz czas, w którym łódka przepłynie odległość między miastami B i A.

• Rysunek naprowadzający 2

  

   

  Prędkość łódki względem brzegu jest sumą prędkości łódki względem rzeki i prędkości prądu rzeki:

  \[v_2\,=\,v+r\,.\]

  Tym razem łódka przepłynie odległość s w czasie równym:

  \[t_2\,=\,\frac{s}{v_2}\,=\,\frac{s}{v+r}\,.\]

  Możemy wyznaczyć więc czas potrzebny na pokonanie odległość z miasta A do B i z powrotem:

  \[t\,=\,t_1+t_2\,=\,\frac{s}{v-r}+\frac{s}{v+r}\,=\,s\,\left(\frac{1}{v-r}+\frac{1}{v+r}\right)\,=\,\frac{2v}{v^{2}-r^{2}}\,s\,.\]

• Podpowiedź 3: Wyznaczenie czasu

  Wyznacz czas potrzebny przepłynięcie przez łódkę odległości 2AB z prędkością v.

• Rozwinięcie podpowiedzi 3

  Na jeziorze łódka przepłynie odległość 2s z prędkością v w czasie:

  \[t'\,=\,\frac{s}{v}+\frac{s}{v}\,=\,\frac{2}{v}\,s\,.\]

  Stosunek czasu potrzebnego przepłynięcia odległości 2s po rzece i na jeziorze:

  \[\frac{t}{t'}=\frac{\frac{2v}{v^{2}- r^{2}}\,s}{\frac{2}{v}\,s}\,=\,\frac{v^{2}}{v^{2}-r^{2}}\,=\,\frac{1}{1-\frac{r^{2}}{v^{2}}}.\]

  Podstawiamy wartości liczbowe:

  \[\frac{t}{t'}\,=\,\frac{4^{2}}{4^{2}-1{,}6^{2}}\,=\,\frac{16}{13{,}44}\,\dot=\,1{,}19\,.\]

• CAŁE ROZWIĄZANIE

  Zakładamy, że odległość między miastami A i B wynosi s km.

  

  Prędkość łódki względem brzegu można obliczyć jako różnicę prędkości łódki względem wody i prędkości prądu rzeki:

  \[v_1\,=\,v-r\,.\]

  

  Prędkość łódki względem brzegu tym razem jest sumą prędkości łódki względem rzeki i prędkości prądu rzeki:

  \[v_2\,=\,v+r\,.\]

  Łódka płynąc pod prąd pokona odległość między miastami A i B w czasie:

  \[t_1\,=\,\frac{s}{v_1}\,=\,\frac{s}{v-r}\,.\]

  a płynąc z prądem w czasie:

  \[t_2\,=\,\frac{s}{v_2}\,=\,\frac{s}{v+r}\,.\]

  Czas potrzebny na pokonanie odległość z miasta A do B i z powrotem wynosi:

  \[t\,=\,t_1+t_2\,=\,\frac{s}{v-r}+\frac{s}{v+r}\,=\,s\,\left(\frac{1}{v-r}+\frac{1}{v+r}\right)\,=\,\frac{2v}{v^{2}-r^{2}}\,s\,.\]

  Na jeziorze łódka przepłynie odległość 2s z prędkością v w czasie:

  \[t'\,=\,\frac{s}{v}+\frac{s}{v}\,=\,\frac{2}{v}s\,.\]

  Stosunek t/t' jest równy:

  \[\frac{t}{t'}\,=\,\frac{\frac{2v}{v^{2}-r^{2}}\,s}{\frac{2}{v}\,s}\,=\,\frac{v^{2}}{v^{2}-r^{2}}\,=\,\frac{1}{1-\frac{r^{2}}{v^{2}}}\,.\]

  Podstawiamy wartości liczbowe:

  \[\frac{t}{t'}\,=\,\frac{4^{2}}{4^{2}-1{,}6^{2}}\,=\,\frac{16}{13{,}44}\,\dot=\,1{,}19\,.\]

• Odpowiedź

  Stosunek czasu potrzebnego na przepłynięcie odległości 2AB na rzece i po jeziorze jest równy:

  \[\frac{t}{t'}\,=\,\frac{\frac{2v}{v^{2}-r^{2}}\,s}{\frac{2}{v}\,s}\,=\,\frac{v^{2}}{v^{2}-r^{2}}\,=\,\frac{1}{1-\frac{r^{2}}{v^{2}}}\,.\]

  Po obliczeniu otrzymujemy wartość:

  \[\frac{t}{t'}\,=\,\frac{4^{2}}{4^{2}-1{,}6^{2}}\,=\,\frac{16}{13{,}44}\,\dot=\,1{,}19\,.\]

  Uwaga:

  Mimo, że wydaje się, że łódka płynąc po rzece raz z prądem raz pod prąd nie powinna tracić na czasie przepłynięcia, podróż po rzece zajmuje więcej czasu niż przepłynięcie tej samej odległości tam i z powrotem po jeziorze.

  Wynik liczbowy jest niezwykle ciekawy: ten sam czynnik, \({1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\) występuje w skróceniu odległości (i wydłużeniu czasu) w szczególnej teorii względności Einsteina.