„Balmerova“ série pro ion helia He+
Úloha číslo: 4340
Uvažujme ion helia \(\text{He}^+\). Porovnejte „Balmerovu“ sérii helia s Balmerovou sérií vodíku, která je ve viditelném spektru. Jako Balmerovu sérii označujeme přechody z vyšší enegetické hladiny na hladinu s hlavním kvantovým číslem \(n = 2\,.\)
Nápověda 1
Jaký vztah platí pro energii elektronu ve vodíku podobném atomu, tj. v atomu s protonovým číslem Z a s jedním elektronem? Jaká je energie základního stavu ionu helia?Nápověda 2
Jak spolu souvisí vlnová délka fotonu, který byl vyzářen při přechodu elektronu v atomu z jednoho stavu do druhého, a rozdíl energií, které odpovídají těmto dvěma stavům?Řešení
Jako spektrální série označujeme přechody elektronu v atomu z vyšší enegetické hladiny na hladinu s pevně zvoleným hlavním kvantovým číslem n. Při těchto přechodech je vyzářen foton o určité vlnové délce.
Energie fotonu vyzářeného při přechodu elektronu z jedné energetické hladiny na druhou (označme je hlavními kvantovými čísly \(n_A\), \(n_B\)) je dána rozdílem energií těchto hladin. V atomu podobnému vodíku je tento rozdíl roven \[ \Delta E_{AB} = E_A - E_B = \frac{E_1}{n_A^2} - \frac{E_1}{n_B^2} = E_1\left(\frac{1}{n_A^2} - \frac{1}{n_B^2}\right) \,, \] kde \(E_1\) je energie základního stavu atomu.
Energie vyzářeného fotonu je přímo úměrná frekvenci fotonu a nepřímo úměrná vlnové délce fotonu, větší energie tak odpovídá kratší vlnové délce.
Abychom mohli rozhodnout, jestli bude energie fotonů vyzářených při přechodech z jedné energetické hladiny na druhou větší pro atom vodíku nebo pro ion helia, musíme porovnat rozdíly energií mezi jednotlivými hladinami ionu helia a atomu vodíku. K tomu potřebujeme znát hodnotu energie základního stavu pro ion helia a atom vodíku \(E_1^{\text{He}^+}\) a \(E_1^H\).
Vodík i ion helia \(\mbox{He}^+\) jsou atomy tvořené jádrem a jedním elektronem. Počet protonů v jádře určuje protonové číslo \(Z\). Takové atomy nazýváme tzv. vodíku podobné atomy.
Pro každý vodíku podobný atom má vztah pro energii tvar \[E_n = \frac{E_1}{n^2}\,,\] kde \[E_1 = -Z^2\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2}\] je energie základního stavu atomu, \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) je elektrostatická konstanta, \(m_e\) hmotnost elektronu a \(e\) náboj elektronu.
Vidíme, že energie základního stavu závisí na náboji jádra. Atomy s vyšším protonovým číslem \(Z\) mají více nabité jádro a elektrony jsou tak k němu více přitahovány, proto má základní stav v absolutní hodnotě větší energii.
Pro atom vodíku s protonovým číslem \(Z=1\) je energie základního stavu \[E_1^{\text{H}} = -\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2} = -13{,}6\,\text{eV} \,. \]
Helium má protonové číslo \(Z = 2\), hodnota energie základního stavu ionu helia je tedy \[E_1^{\text{He}^+} = -2^2\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2} = -4\frac{(ke^2)^2 m_e}{2\hbar^2} = -4\,E_1^{\text{H}} = 4\,(-13{,}6\,\text{eV}) = -54{,}4\,\text{eV}\,,\] což je čtyřnásobek energie základního stavu atomu vodíku.
Rozdíl mezi energetickými hladinami označenými hlavními kvantovými čísly \(n_A,\,n_B\) pro atom vodíku je \[ \Delta E_{AB}^\text{H} = E_1^\text{H}\left(\frac{1}{n_A^2} - \frac{1}{n_B^2}\right) = -13{,}6\,\text{eV}\cdot\left(\frac{1}{n_A^2} - \frac{1}{n_B^2}\right) \] a pro ion helia \[ \Delta E_{AB}^{\text{He}^+} = E_1^{\text{He}^+}\left(\frac{1}{n_A^2} - \frac{1}{n_B^2}\right) = -54{,}4\,\text{eV}\cdot\left(\frac{1}{n_A^2} - \frac{1}{n_B^2}\right)\,. \]
Rozdíl mezi každými dvěma energetickými hladinami ionu helia tak bude v absolutní hodnotě čtyřikrát větší než rozdíl odpovídajících hladin u atomu vodíku. Proto budou mít fotony vyzářené při přechodech v ionu helia čtyřikrát větší frekvenci a kratší vlnovou délku než fotony odpovídajíchích přechodů v atomu vodíku. „Balmerova“ série, spolu s ostatními sériemi, tak bude oproti příslušným sériím v atomu vodíku posunuta ke kratším vlnovým délkám, tedy směrem k utrafialové části spektra.
Odpověď
„Balmerova“ série je oproti Balmerově sérii atomu vodíku posunuta ke kratším vlnovým délkám, tedy směrem k utrafialové části spektra.
