Zvedání duté bedny

Úloha číslo: 1144

Krychlová bedna o hraně 1 metr, která má stěny z materiálu o hustotě 2000 kg/m³ tlusté 25 cm, je uvnitř naplněná vzduchem (jehož hmotnost zanedbáme) a leží na dně nádrže s vodou hluboké 12 m. Určete:

Jakou práci vykonal jeřáb, když vytáhl bednu tak, že se její vrchní stěna dotkla hladiny?
Jakou práci by vykonal, kdyby byla bedna naplněna nikoli vzduchem, ale vodou?
Jakou hustotu by musela mít kapalina, kterou bychom bednu naplnili, aby práce jeřábu byla dvakrát větší, než když byla bedna naplněna vzduchem?

Zápis

a = 1 m	délka hrany bedny
d = 25 cm	tloušťka stěn bedny
ρ = 2000 kg/m³	hustota materiálu stěn
h = 12 m	hloubka nádrže
W₁ = ?	práce jeřábu v případě a)
W₂ = ?	práce jeřábu v případě b)
ρ₂ = ?	hustota kapaliny v případě c)

Nápověda 1 (k části a.)
Jaké síly působí na bednu v libovolném okamžiku, když je zvedána (předpokládejme, že rovnoměrně) ze dna k hladině? Určete výslednici těchto sil. Vztah poté přepište skalárně a obecně z něj vyjádřete sílu, kterou musí jeřáb bednu zvedat.
Řešení nápovědy 1
Je-li bedna zvedána k hladině, působí na ni tyto síly:
- tíhová síla F_G směrem svisle dolů,
- vztlaková síla F_vz směrem svisle vzhůru,
- tažná síla jeřábu F směrem svisle vzhůru.
Protože tento pohyb je podle našeho předpokladu rovnoměrný přímočarý, musí být podle 1. Newtonova zákona výslednice těchto sil nulová:
\[\vec{F_\mathrm{G}}\,+\,\vec{F_\mathrm{vz}}\,+\,\vec{F}\,=\,\vec{o}.\tag{1}\]
Vzhledem ke směru jednotlivých sil (viz výše) můžeme přepsat rovnici (1) skalárně a vyjádřit z ní velikost tažné síly jeřábu F:
\[F_\mathrm{G}\,-\,F_\mathrm{vz}\,-\,F\,=\,0\,\Rightarrow\,F\,=\,F_\mathrm{G}\,-\,F_\mathrm{vz}.\tag{2}\]
Nápověda 2 (k části a.)
Vyjádřete tíhovou sílu působící na bednu. Nejste-li si jisti objemem stěn bedny, udělejte si obrázek. Využijete také vztah mezi objemem, hmotností a hustotou.
Řešení nápovědy 2
Tíhovou sílu spočítáme dle vztahu:
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg,\tag{3}\]
kde m je hmotnost bedny a g tíhové zrychlení. Protože máme zadanou hustotu materiálu ρ, ze kterého je bedna vyrobena, můžeme hmotnost ve vztahu (3) rozepsat jako součin objemu a hustoty:
\[F_\mathrm{G}\,=\,{\rho}Vg,\tag{4}\]
kde V je objem stěn bedny (nikoli vnější objem celé bedny, bedna je dutá!). Při určení tohoto objemu si pomůžeme obrázkem:

Bednu si tedy můžeme představit jako krychli o hraně a, ve které je dutina ve tvaru krychle o hraně a −2d. Z toho by mělo být patrné, že objem stěn je roven rozdílu mezi objemem V₁ velké krychle a objemem V₂ malé (vnitřní) krychle. S pomocí vztahu pro objem krychle dostáváme:
\[V\,=\,V_1\,-\,V_2\,=\,a^3\,-\,(a\,-\,2d)^3\,=\,2d(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2).\tag{5}\]
Dosazením vztahu (5) do rovnice (4) dostáváme pro tíhovou sílu:
\[F_\mathrm{G}\,=\,2{\rho}gd(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2).\tag{6}\]
Nápověda 3 (k části a.)
Určete vztlakovou sílu působící na bednu. Nezapomeňte, že nyní pracujete s ponořeným objemem tělesa.
Řešení nápovědy 3
Ve vztahu pro velikost vztlakové síly F_vz vystupuje kromě tíhového zrychlení g a hustoty kapaliny (zde vody) ρ₁ také objem ponořené části tělesa, tedy náš „vnější“ objem V₁. Dutina uvnitř bedny se na tomto objemu nijak neprojeví. Bude tedy platit:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V_1{\rho}_1g\,=\,a^3{\rho}_1g.\tag{7}\]
Nápověda 4 (k části a.)
Dosaďte velikosti tíhové a vztlakové síly do vztahu (2). Jak nyní s pomocí tažné síly jeřábu určit jeho práci? Vzpomeňte si na definiční vztah pro mechanickou práci a první část úlohy dopočítejte.
Řešení nápovědy 4
Dosazením vztahů (6) a (7) získáváme tažnou sílu jeřábu F:
\[F\,=\,g(2{\rho}d(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2)\,-\,a^3{\rho}_1).\tag{8}\]
Z definice víme, že mechanickou práci určíme jako součin konstantní síly a dráhy, na které tato síla působila. Sílu jsme určili ve vztahu (8), pro dráhu s z obrázku platí:
\[s\,=\,h\,-\,a.\tag{9}\]

Ve výsledku tedy pro hledanou práci jeřábu dostáváme:
\[W_1\,=\,Fs\,=\,g(h\,-\,a)(2{\rho}d(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2)\,-\,a^3{\rho}_1).\tag{10}\]
Číselně:
\[W_1\,=\,10(12\,-\,1)(2{\cdot}2\,000{\cdot}0{,}25{\cdot}(3{\cdot}1^2\,-\,6{\cdot}1{\cdot}0{,}25\,+\,4{\cdot}0{,}25^2)\,-\,1^3{\cdot}1\,000)\,\mathrm{J},\] \[W_1\,=\,82\,500\mathrm{J}.\]
Jeřáb vykoná při zvedání bedny k hladině práci 82,5 kJ.
Nápověda 5 (k části b.)
Jak se situace změní, naplníme-li dutinu uvnitř bedny vodou? Změní se tíhová síla působící na bednu? Změní se vztlaková síla působící na bednu? Práci vypočítejte stejným způsonem jako v části a).
Řešení nápovědy 5
Abychom mohli vyřešit druhou část úlohy, musíme nejprve prozkoumat, jak vyplnění dutiny vodou změní silové poměry („nové“ síly budeme značit čárkovaně):

Tíhová síla: Vyplníme-li dutinu bedny vodou, zvýší se hmotnost celého tělesa o hmotnost dolité vody m₁ a vzroste tedy tíhová síla působící na bednu:
\[F_\mathrm{G}´\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,m_1g\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,{\rho}_1gV_2\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3,\tag{11}\]
kde V₂ je již dříve spočítaný objem dutiny (a tedy i nalité vody) a ρ₁ hustota vody.

Vztlaková síla: Vnější objem bedny se nezmění a vztlaková síla tak zůstane stejně velká:
\[F_\mathrm{vz}´\,=\,F_\mathrm{vz}.\tag{12}\]
Pro výslednou tažnou sílu jeřábu F' obměnou vztahu (2) platí:
\[F´\,=\,F_\mathrm{G}´\,-\,F_\mathrm{vz}´\,=\,(F_\mathrm{G}\,-\,F_\mathrm{vz})\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3,\] \[F´\,=\,F\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3.\tag{13}\]
Práci W₂ určíme analogicky jako ve vztahu (10):
\[W_2\,=\,F´s\,=\,F´(h\,-\,a)\,=\,F(h\,-\,a)\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a),\] \[W_2\,=\,W_1\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a).\tag{14}\]
Z tvaru výsledku vidíme, že celková práce vykonaná při zvednutí bedny naplněné vodou je rovna součtu práce vykonané při zvednutí prázdné bedny (W₁) a práce vykonané při zvedání samotné vody (výraz ve vztahu (14) vpravo). Číselně:
\[W_2\,=\,(82\,500\,+\,1000{\cdot}10{\cdot}(1\,-\,2{\cdot}0{,}25)^3{\cdot}(12\,-\,1))\,\mathrm{J}\,=\,96\,250\,\mathrm{J}.\]
Nápověda 6 (k části c.)
Poslední část úlohy je velmi podobná té předcházející, pouze bednu plníme kapalinou s jinou hustotou. Vyjádřete práci W₃, která je potřebná na vyzvednutí bedny naplněné neznámou kapalinou (využijte přitom zobecnění okomentovaného u vztahu(14)). Pak už pouze přidejte podmínku, že práce W₃ má být dvojnásobkem práce W₁, a vyjádřete neznámou hustotu.
Řešení nápovědy 6
K určení práce W₃, potřebné k vyzvednutí bedny s neznámou kapalinou, využijeme zobecnění dané vztahem (14). V něm jsme odvodili, že práci na vyzvednutí plné bedny lze vyjádřit jako součet práce na vyzvednutí prázdné bedny a práce na vyzvednutí jejího obsahu. Oproti situaci popsané vztahem (14) se změnila pouze jediná veličina – hustota kapaliny v bedně; proto lze vztah (14) téměř identicky přepsat pro práci W₃:
\[W_3\,=\,W_1\,+\,{\rho}_2g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a),\tag{15}\]
kde ρ₂ je hustota neznámé kapaliny. Z podmínky dané zadáním úlohy ale současně platí:
\[W_3\,=\,2W_1.\tag{16}\]
Porovnáním vztahů (15) a (16) dostáváme:
\[W_1\,+\,{\rho}_2g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a)\,=\,2W_1.\]
Odtud úpravou:
\[W_1\,=\,{\rho}_2g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a)\,\Rightarrow\,{\rho}_2\,=\,\frac{W_1}{g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a)}.\tag{17}\]
Číselně:
\[{\rho}_2\,=\,\frac{82\,500}{10{\cdot}(1\,-\,2{\cdot}0{,}25)^3{\cdot}(12\,-\,1)}\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}\,=\,6\,000\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}.\]
Celkové řešení
Část a:
Je-li bedna zvedána k hladině, působí na ni tyto síly:
- tíhová síla F_G směrem svisle dolů
- vztlaková síla F_vz směrem svisle vzhůru
- tažná síla jeřábu F směrem svisle vzhůru
Protože tento pohyb je dle našeho předpokladu rovnoměrný přímočarý, musí být podle 1. Newtonova zákona výslednice těchto sil nulová:
\[\vec{F_\mathrm{G}}\,+\,\vec{F_\mathrm{vz}}\,+\,\vec{F}\,=\,\vec{o}\tag{1}\]
Vzhledem ke směru jednotlivých sil (viz výše) můžeme přepsat rovnici (1) skalárně a vyjádřit z ní velikost tažné síly jeřábu F:
\[F_\mathrm{G}\,-\,F_\mathrm{vz}\,-\,F\,=\,0\,\Rightarrow\,F\,=\,F_\mathrm{G}\,-\,F_\mathrm{vz}.\tag{2}\]
Výpočet tíhové síly: Tíhovou sílu spočítáme dle vztahu:
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg,\tag{3}\]
kde m je hmotnost bedny a g tíhové zrychlení. Protože máme zadanou hustotu materiálu ρ, ze kterého je bedna vyrobena, můžeme hmotnost ve vztahu (3) rozepsat jako součin objemu a hustoty:
\[F_\mathrm{G}\,=\,{\rho}Vg,\tag{4}\]
kde V je objem stěn bedny (nikoli vnější objem celé bedny, bedna je dutá!). Při určení tohoto objemu si pomůžeme obrázkem:

Bednu si tedy můžeme představit jako krychli o hraně a, ve které je dutina ve tvaru krychle o hraně a −2d. Z toho by mělo být patrné, že objem stěn je roven rozdílu mezi objemem V₁ velké krychle a objemem V₂ malé (vnitřní) krychle. S pomocí vztahu pro objem krychle dostáváme:
\[V\,=\,V_1\,-\,V_2\,=\,a^3\,-\,(a\,-\,2d)^3\,=\,2d(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2).\tag{5}\]
Dosazením vztahu (5) do rovnice (4) dostáváme pro tíhovou sílu:
\[F_\mathrm{G}\,=\,2{\rho}gd(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2).\tag{6}\]
Výpočet vztlakové síly: Ve vztahu pro velikost vztlakové síly F_vz vystupuje kromě tíhového zrychlení g a hustoty kapaliny (zde vody) ρ₁ také objem ponořené části tělesa, tedy náš „vnější“ objem V₁. Dutina uvnitř bedny se na tomto objemu nijak neprojeví. Bude tedy platit:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V_1{\rho}_1g\,=\,a^3{\rho}_1g.\tag{7}\]
Výpočet tažné síly: Dosazením vztahů (6) a (7) získáváme tažnou sílu jeřábu F:
\[F\,=\,g(2{\rho}d(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2)\,-\,a^3{\rho}_1).\tag{8}\]
Z definice víme, že mechanickou práci určíme jako součin konstantní síly a dráhy, na které tato síla působila. Sílu jsme určili ve vztahu (8), pro dráhu s z obrázku platí:
\[s\,=\,h\,-\,a.\tag{9}\]

Ve výsledku tedy pro hledanou práci jeřábu dostáváme:
\[W_1\,=\,Fs\,=\,g(h\,-\,a)(2{\rho}d(3a^2\,-\,6ad\,+\,4d^2)\,-\,a^3{\rho}_1).\tag{10}\]
Číselně:
\[W_1\,=\,10(12\,-\,1)(2{\cdot}2\,000{\cdot}0{,}25{\cdot}(3{\cdot}1^2\,-\,6{\cdot}1{\cdot}0{,}25\,+\,4{\cdot}0{,}25^2)\,-\,1^3{\cdot}1\,000)\,\mathrm{J}\] \[W_1\,=\,82\,500\mathrm{J}.\]
Jeřáb vykoná při zvedání bedny k hladině práci 82,5 kJ.

Část b:
Abychom mohli vyřešit druhou část úlohy, musíme nejprve prozkoumat, jak vyplnění dutiny vodou změní silové poměry („nové“ síly budeme značit čárkovaně):

Tíhová síla: Vyplníme-li dutinu bedny vodou, zvýší se hmotnost celého tělesa o hmotnost dolité vody m₁ a vzroste tedy tíhová síla působící na bednu:
\[F_\mathrm{G}´\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,m_1g\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,{\rho}_1gV_2\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3,\tag{11}\]
kde V₂ je již dříve spočítaný objem dutiny (a tedy i nalité vody) a ρ₁ hustota vody.

Vztlaková síla: Vnější objem bedny se nezmění a vztlaková síla tak zůstane stejně velká:
\[F_\mathrm{vz}´\,=\,F_\mathrm{vz}.\tag{12}\]
Pro výslednou tažnou sílu jeřábu F´ obměnou vztahu (2) platí:
\[F´\,=\,F_\mathrm{G}´\,-\,F_\mathrm{vz}´\,=\,(F_\mathrm{G}\,-\,F_\mathrm{vz})\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3,\] \[F´\,=\,F\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3.\tag{13}\]
Práci W₂ určíme analogicky jako ve vztahu (10):
\[W_2\,=\,F´s\,=\,F´(h\,-\,a)\,=\,F(h\,-\,a)\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a),\] \[W_2\,=\,W_1\,+\,{\rho}_1g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a).\tag{14}\]
Z tvaru výsledku vidíme, že celková práce vykonaná při zvednutí bedny naplněné vodou je rovna součtu práce vykonané při zvednutí prázdné bedny (W₁) a práce vykonané při zvedání samotné vody (výraz ve vztahu (14) vpravo). Číselně:
\[W_2\,=\,(82\,500\,+\,1000{\cdot}10{\cdot}(1\,-\,2{\cdot}0{,}25)^3{\cdot}(12\,-\,1))\,\mathrm{J}\,=\,96\,250\,\mathrm{J}.\]
Část c:

K určení práce W₃, potřebné k vyzvednutí bedny s neznámou kapalinou, využijeme zobecnění dané vztahem (14). V něm jsme odvodili, že práci na vyzvednutí plné bedny lze vyjádřit jako součet práce na vyzvednutí prázdné bedny a práce na vyzvednutí jejího obsahu. Oproti situaci popsané vztahem (14) se změnila pouze jediná veličina – hustota kapaliny v bedně; proto lze vztah (14) téměř identicky přepsat pro práci W₃:
\[W_3\,=\,W_1\,+\,{\rho}_2g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a),\tag{15}\]
kde ρ₂ je hustota neznámé kapaliny. Z podmínky dané zadáním úlohy ale současně platí:
\[W_3\,=\,2W_1.\tag{16}\]
Porovnáním vztahů (15) a (16) dostáváme:
\[W_1\,+\,{\rho}_2g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a)\,=\,2W_1.\]
Odtud úpravou:
\[W_1\,=\,{\rho}_2g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a)\,\Rightarrow\,{\rho}_2\,=\,\frac{W_1}{g(a\,-\,2d)^3(h\,-\,a)}.\tag{17}\]
Číselně:
\[{\rho}_2\,=\,\frac{82\,500}{10{\cdot}(1\,-\,2{\cdot}0{,}25)^3{\cdot}(12\,-\,1)}\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}\,=\,6\,000\,\mathrm{kg}{\cdot}\mathrm{m}^{-3}.\]
Odpověď
Část a: Jeřáb musí působit tažnou silou 82,5 kJ.

Část b: Jeřáb by musel působit tažnou silou 96,25 kJ.

Část c: Hustota kapaliny v dutině bedny by musela být 6000 kg·m⁻³.