Sbírka řešených úloh

Míjení vlaku I

Úloha číslo: 228

Osobní vlak dlouhý 120 m jede rychlostí \(30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\). Za jak dlouho mine:

a) sloup elektrického vedení?

b) nástupiště dlouhé 50 m?

• Zápis

  \(L\,=\,120\,\mathrm{m}\)	délka vlaku
  \(v\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\)	rychlost vlaku
  \(d\,=\,50\,\mathrm{m}\)	délka nástupiště
  t1 = ? (s)	doba, za kterou mine sloup elektrického vedení
  t2 = ? (s)	doba, za kterou mine nástupiště

• Nápověda 1: Dráha lokomotivy

  Rozmyslete si, jakou vzdálenost musí ujet lokomotiva, aby celý vlak minul sloup či nástupiště?

  Nakreslete si obrázek pro obě situace.

• Řešení nápovědy 1:

  a) Předpokládáme, že šířka sloupu je vůči délce vlaku malá. Aby lokomotiva minula sloup, musí ujet vzdálenost o velikosti celé délky vlaku.

  

  b) Aby celý vlak minul nástupiště, musí lokomotiva ujet vzdálenost o velikosti celé délky vlaku a délky nástupiště.

  

• Nápověda 2: Čas míjení

  Znáte vzdálenost, jakou musí lokomotiva ujet, a její rychlost. Hledané časy již jistě snadno určíte.

  Dejte pozor, aby byly všechny zadané veličiny v základních jednotkách.

• Řešení nápovědy 2:

  Převedeme si rychlost lokomotivy do základních jednotek:

  \[ v\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 8{,}3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,. \]

  Zbylé zadané hodnoty jsou v základních jednotkách.

  Hledané časy zjistíme tak, že vzdálenost, kterou musí lokomotiva ujet, vydělíme rychlostí vlaku:

  a) \(t_{1}\,=\,\frac{L}{v}\,=\,\frac{120}{8{,}3}\,\mathrm{s}\,=\,14{,}4\,\mathrm{s}.\)

  b) \( t_{2}\,=\,\frac{L+d}{v}\,=\,\frac{120+50}{8{,}3}\,\mathrm{s}\,=\,20{,}4\,\mathrm{s}. \)

• Celkové řešení a)

  a) Předpokládejme, že šířka sloupu je velice malá vůči délce vlaku. Než celý vlak mine sloup, musí lokomotiva ujet vzdálenost rovnou délce vlaku, tedy L.

  

  Tuto vzdálenost ujede za čas:

  \[t_{1}\,=\,\frac{L}{v}\,=\,\frac{120}{8{,}3}\,\mathrm{s}\,=\,14{,}4\,\mathrm{s}.\]

• Celkové řešení b)

  b) Šířku nástupiště nemůžeme považovat za zanedbatelnou, musíme ji brát v úvahu. Aby celý vlak minul nástupiště, musí lokomotiva ujet vzdálenost o velikosti délky vlaku L (tím mine celý vlak začátek nástupiště) a délky nástupiště d (celý vlak mine celé nástupiště).

  

  Tuto vzdálenost ujede za čas:

  \[ t_{2}\,=\,\frac{L+d}{v}\,=\,\frac{120+50}{8{,}3}\,\mathrm{s}\,=\,20{,}4\,\mathrm{s}\,. \]

• Celková odpověď

  Osobní vlak mine sloup elektrického vedení za 14,4 s. Nástupiště mine vlak za 20,4 s.

• Odkaz na podobnou úlohu

  Podobná, trochu obtížnější úloha na míjení dvou jedoucích vlaků je úloha Míjení vlaku II.