Vodojem

Úloha číslo: 960

Vodojem vytváří ve vodovodním potrubí v přízemí panelového domu tlak 0,8 MPa. Výška jednoho patra je asi 2,5 m. V prvním patře si Lucka myje ruce a ve třetím Pavel napouští vodu do konvice. Voda v konvici sahá do výšky 20 cm od jejího dna.

a) V jaké výšce ode dna konvice je hladina vody v hubici konvice?

b) V jaké výšce nad zemí je hladina vody ve vodojemu?

c) Jak velký tlak vody je v kohoutku u Lucky a jak velký v kohoutku u Pavla?

Zápis

p_h = 0,8 MPa	hydrostatický tlak sloupce vody ve vodojemu
p_h1	hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a prvním patrem
p_h3	hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a třetím patrem
h₀ = 20 cm = 0,2 m	výška vody v konvici
h₁ = 2,5 m	výška od země k hladině vody v kohoutku v 1. patře
h₃	výška od země k hladině vody v kohoutku ve 3. patře
h_h = ?	výška vody v hubici konvice
h = ?	výška vodního sloupce ve vodojemu
p_L = ?	tlak vody v kohoutku u Lucky
p_P = ?	tlak vody v kohoutku u Pavla
Z tabulek:
g = 10 N/kg	číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu
ρ = 1000 kg/m³	hustota vody

Úkol a) – nápověda 1
Co z fyzikálního hlediska tvoří konvice a její hubice?
Řešení k nápovědě 1
Tvoří spojené nádoby.
Úkol a) – nápověda 2
Co můžeme říct o hladině vody ve spojených nádobách?
Řešení k nápovědě 2
Po naplnění spojených nádob vodou vystoupí hladina vody v obou nádobách do stejné výšky.
Úkol a) – nápověda 3
Na základě předchozích úvah zformulujte odpověď.
Řešení k nápovědě 3
Protože konvice a její hubice tvoří spojené nádoby, vystoupí voda v hubici do stejné výšky jako v těle konvice. Voda v hubici je ve výšce 20 cm ode dna konvice.
Úkol b) – nápověda 1
Co z fyzikálního hlediska tvoří vodojem a vodovodní rozvod v panelovém domě?
Řešení k nápovědě 1
Tvoří spojené nádoby.
Úkol b) – nápověda 2
Úkol vodojemu je zajistit potřebný tlak ve vodovodním rozvodu. Jaký druh tlaku vodojem zajišťuje?
Řešení k nápovědě 2
Jde o hydrostatický tlak sloupce vody, která se ve vodojemu nachází. Je to tlak, kterým kapalina tlačí na dno a stěny nádoby, ve které se nachází, na tělesa ponořená do této kapaliny a na své vlastní části (výše položené části kapaliny tlačí na ty níže položené).
Úkol b) – nápověda 3
Na čem závisí hydrostatický tlak? Jak ho vypočítáme?
Řešení k nápovědě 3
Hydrostatický tlak vypočítáme jako:
\[p_\mathrm{h}\,=\,h{\rho}g\,,\tag{1}\]
kde h je hloubka pod povrchem hladiny (v našem případě výška vodního sloupce ve vodojemu), ρ je hustota kapaliny a g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).
Úkol b) – nápověda 4
Které veličiny ve vzorci (1) známe a co chceme vypočítat?
Řešení k nápovědě 4
Chceme vypočítat výšku h vody ve vodojemu, ostatní veličiny známe.
Úkol b) – nápověda 5
Vyjádřete neznámou veličinu ze vzorce (1) a vypočítejte ji.
Řešení k nápovědě 5
Neznámá výška vody ve vodojemu se vypočítá:

\[h\,=\,\frac{p_\mathrm{h}}{{\rho}{\cdot}g}\,,\tag{2}\]

kde p_h = 0,8 MPa je hydrostatický tlak vody u dna vodojemu, \({\rho}\) je hustota kapaliny (v našem případě vody) a g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

Číselně:

\[h\,=\,(\frac{800 000}{1000{\cdot}10})\,\mathrm{m}\,=\,80\,\mathrm{m}\,.\]
Úkol c) – nápověda 1
Vodojem a vodovodní rozvod v panelovém domě fungují také jako spojené nádoby. Oproti části a) je zde ale rozdíl. Situace je znázorněna na obrázku.

V čem jsou tyto spojené nádoby rozdílné oproti konvici z a)?
Řešení k nápovědě 1
„Nádoba“ vlevo (kohoutek s částí potrubí) je nižší než „nádoba“ vpravo (vodojem s částí potrubí).
Úkol c) – nápověda 2
Z části b) už víme, že hydrostatický tlak, který vodojem vytváří v přízemí domu, je úměrný výšce vodního sloupce ve vodojemu.

Jak vysoko by musela sahat voda v pravé „nádobě“, aby byl hydrostatický tlak tohoto sloupce vody stejný jako hydrostatický tlak sloupce vody v levé „nádobě“?
Řešení k nápovědě 2
Ze vzorce (1) je vidět, že aby byly hydrostatické tlaky sloupců vody stejné, voda v pravé nádobě by musela sahat do stejné výšky jako v levé. (Představit si to vám může pomoct přerušovaná čára na obrázku. Kdyby napravo nebyla nad přerušovanou čarou už žádná voda, tak by vlevo voda nevytékala.)
Úkol c) – nápověda 3
Čím je dán tlak vody u Lucky v prvním patře?
Řešení k nápovědě 3
Je dán rozdílem hydrostatických tlaků p_h – p_h1, kde p_h je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a hladinou ve vodojemu a p_h1 je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a prvním patrem.
Úkol c) – nápověda 4
Vypočítejte tento tlak.
Řešení k nápovědě 4
Tlak vody u Lucky spočítáme:

\[p_\mathrm{L}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,p_\mathrm{h_1}\,,\]

\[p_\mathrm{L}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,h_1\cdot\rho\cdot g\,,\]

kde p_h je hydrostatický tlak vody ve vodojemu, h₁ je výška od země k hladině vody v kohoutku v 1. patře.

Číselně:

\[p_\mathrm{L}\,=\,({800000-2{,}5{\cdot}1000\cdot10})\mathrm{Pa}\,=\,775000\mathrm{Pa}\,=\,775\mathrm{kPa}\,.\]
Úkol c) – nápověda 5
Čím je dán tlak vody u Pavla ve třetím patře?
Řešení k nápovědě 5
Je dán rozdílem hydrostatických tlaků p_h – p_h3, kde p_h je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a hladinou vody ve vodojemu a p_h3 je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a třetím patrem.
Úkol c) – nápověda 6
Vypočtěte tento tlak.
Řešení k nápovědě 6
Tlak vody u Pavla spočítáme:

\[p_\mathrm{P}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,p_\mathrm{h_3}\,,\]

\[p_\mathrm{P}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,h_3\cdot\rho\cdot g\,,\]

kde p_h je hydrostatický tlak vody ve vodojemu, h₃ je výška od země k hladině vody v kohoutku ve 3. patře.

Číselně:

\[p_\mathrm{P}\,=\,({800000-3{\cdot}2{,}5{\cdot}1000\cdot10})\mathrm{Pa}\,=\,725000\mathrm{Pa}=\,725\mathrm{kPa}\,.\]
Celkové řešení
Řešení části a):
Protože konvice a její hubice tvoří spojené nádoby, vystoupí voda v hubici do stejné výšky jako v těle konvice. Voda v hubici je ve výšce 20 cm ode dna konvice.

Řešení části b):
Výšku vody ve vodojemu vypočítáme z tlaku, který tato voda vytváří v přízemí panelového domu. Je to tlak, kterým kapalina tlačí na dno a stěny nádoby, ve které se nachází, na tělesa ponořená do této kapaliny a na své vlastní části (výše položené části kapaliny tlačí na ty níže položené).

Tento takzvaný hydrostatický tlak je určen vztahem:
\[p_\mathrm{h}\,=\,h{\rho}g\,,\tag{1}\]
kde h je hloubka pod povrchem hladiny (v našem případě výška vodního sloupce ve vodojemu), ρ je hustota kapaliny a g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

Výška vody ve vodojemu se tedy vypočítá:
\[h\,=\,\frac{p_\mathrm{h}}{{\rho}{\cdot}g}\,,\tag{2}\]
kde p_h = 0,8 MPa je právě hydrostatický tlak vody ve vodojemu.
\[h\,=\,(\frac{800 000}{1000{\cdot}10})\,\mathrm{m}\,=\,80\,\mathrm{m}\]
Řešení části c):

Tlak vody u Lucky je dán rozdílem hydrostatických tlaků p_h – p_h1, kde p_h je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a hladinou vody ve vodojemu a p_h1 je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a prvním patrem. Spočítáme jej jako:

\[p_\mathrm{L}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,p_\mathrm{h_1}\,,\]

\[p_\mathrm{L}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,h_1\cdot\rho\cdot g\,,\]

kde p_h je hydrostatický tlak vody ve vodojemu, h₁ je výška od země k hladině vody v kohoutku v 1. patře.

Číselně:

\[p_\mathrm{L}\,=\,({800000-2{,}5{\cdot}1000\cdot10})\mathrm{Pa}\,=\,775000\mathrm{Pa}\,=\,775\mathrm{kPa}\,.\]

Tlak vody u Pavla je dán rozdílem hydrostatických tlaků p_h – p_h3, kde p_h je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a hladinou vody ve vodojemu a p_h3 je hydrostatický tlak sloupce vody mezi přízemím a třetím patrem. Spočítáme jej jako:

\[p_\mathrm{P}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,p_\mathrm{h_3}\,,\]

\[p_\mathrm{P}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,h_3\cdot\rho\cdot g\,,\]

kde p_h je hydrostatický tlak vody ve vodojemu, h₃ je výška od země k hladině vody v kohoutku ve 3. patře.

Číselně:

\[p_\mathrm{P}\,=\,({800000-3{\cdot}2{,}5{\cdot}1000\cdot10})\mathrm{Pa}\,=\,725000\mathrm{Pa}=\,725\mathrm{kPa}\,.\]
Odpověď
a)

h_h = 20 cm

Hladina vody v hubici konvice je ve výšce 20 cm ode dna konvice.

b)
\[h\,=\,\frac{p_\mathrm{h}}{{\rho}{\cdot}g} \,=\,80\,\mathrm{m}\]
Hladina vody ve vodojemu je ve výšce 80 m nad zemí.

c)
\[p_\mathrm{L}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,h_1\cdot\rho\cdot g = \,=\,775\mathrm{kPa}\] \[p_\mathrm{P}\,=\,p_\mathrm{h}\,-\,h_3\cdot\rho\cdot g = \,=\,725\mathrm{kPa}\]
Tlak vody v kohoutku u Lucky je 775 kPa a v kohoutku u Pavla je tlak vody 725 kPa.