Pohyb částice II
Úloha číslo: 115
Polohový vektor částice se mění s časem podle vztahu:
\[\vec{r}\left(t\right)\,=\,15\,\mathrm{m\,s^{-2}}t^2\vec{\,i\,}+\left(4\,\mathrm{m}-20\,\mathrm{m\,s^{-2}}t^2\right)\vec{\,j\,}\,,\]kde \(\vec{\,i\,}\), \(\vec{\,j\,}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x a y.
Řešte následující úkoly:
a) Jaká je trajektorie částice? Napište její rovnici.
b) Nakreslete trajektorii částice.
c) Určete dráhu, kterou částice urazí v libovolném časovém intervalu (tk1, tk2).
d) Určete, jakou dráhu částice urazila na úseku trajektorie mezi osou x a y.
e) Za jakou dobu částice urazila dráhu na úseku mezi osami x, y?
f) Jaká je průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x, y?
g) Lze v tomto případě vypočítat průměrnou velikost rychlosti částice podle vzorce \[v\,=\,\frac{v_1+v_2}{2},\] kde v1 je počáteční a v2 je konečná velikost rychlosti pohybu?
Odpověď zdůvodněte.
Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru jako například:
\[y\,=\,1\,\mathrm{m} - 2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\cdot t\,.\]Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.
Nápověda 1 pro a): Rovnice trajektorie částice
Jakými vztahy je popsán pohyb částice ve směrech souřadnicových os x, y, z?
(Můžete vyjít z vyřešených úkolů v úloze Pohyb částice I.)
Jak z parametrických rovnic x(t), y(t), z(t) získáte rovnici trajektorie částice?
Nápověda 2 pro b): Trajektorie částice
Je třeba nakreslit přímku popsanou rovnicí \(y\,=\,4-\left(\frac{4}{3}\right)x\). Stačí najít dva body, kterými prochází. Zjistěte například, ve kterém bodě protíná osu x a ve kterém osu y.
Nápověda 3 pro c): Dráha částice v čas. intervalu (tk1, tk2)
Z úlohy Pohyb částice I znáte, jak se s časem mění velikost rychlosti částice:
\[v\left(t\right)\,=\,50t\,.\]Jaký je vztah mezi dráhou částice a velikostí její rychlosti?
Dráhu vymezte pro časový úsek (tk1; tk2).
Nápověda 4 pro d): Dráha částice na úseku trajektorie mezi osou x a y
Můžete vyjít z řešení bodu c) (viz předchozí nápověda). K tomu potřebujete znát ještě časy průchodu částice osami x a y. Tento úkol je řešen v úloze Pohyb částice I.
Při určení dráhy můžete také vyjít z obrázku trajektorie částice.
Nápověda 5 pro e): Doba, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y
Uvědomte si, že znáte čas průchodu částice osami x a y.
Nápověda 6 pro f): Průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x a y
Jak je definovaná průměrná velikost rychlosti?
Znáte všechny veličiny, které k výpočtu potřebujete?
Nápověda 7 pro g): Výpočet průměrné velikosti rychlosti částice
Zkuste, zda můžete průměrnou velikost rychlosti částice vyjádřit jako aritmetický průměr počáteční rychlosti pohybu v1 a konečné rychlosti pohybu v2 v případě, kdy velikost rychlosti je lineární funkcí času.
Lze tento vzorec použít obecně pro jakoukoli funkci velikosti rychlosti v(t)?
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Poznámka: Pro přehlednost zápisu nepíšeme ve vztazích jednotky.
Vycházíme z vyřešených úkolů z úlohy Pohyb částice I:
a)
Pohyb částice je ve směru jednotlivých souřadnicových os popsán vztahy:
\[x(t)\,=\,15t^{2}\,,\tag{1}\] \[y(t)\,=\,4-20t^{2}\,,\tag{2}\] \[z(t)\,=\,0\,.\tag{3}\]Trajektorii získáme tak, že z rovnic x(t), y(t), z(t) vyloučíme parametr t.
Z (1):
\[t^{2}\,=\,\frac{x}{15}\,.\]Dosadíme do (2):
\[y\,=\,4-(\frac{20}{15})x\,=\,4-(\frac{4}{3})x\,,\] \[x\,\geq\,0\,,\] \[z\,=\,0\,.\]b)
Průsečík přímky s osou y: x = 0; y = 4
Průsečík přímky s osou x: y = 0; 4 = 4x/3 x = 3
Přímka prochází body o souřadnicích: [0;4] a [3;0].
Trajektorie částice:
c)
Dráhu částice vypočítáme z velikosti její rychlosti jako:
\[s\,=\,\int{v\left(t\right)}\mathrm{d}t\,.\]Pro dráhu částice v časovém intervalu (tk1, tk2) platí:
\[s\,=\,\int_{t_\mathrm{k1}}^{t_\mathrm{k2}}{v(t)}\,\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_\mathrm{k1}}^{t_\mathrm{k2}}{50t}\,\mathrm{d}t\,=\,\left[25t^{2}\right]_{t_\mathrm{k1}}^{t_\mathrm{k2}}\,=\,25\left(t_\mathrm{k2}^{2}-t_\mathrm{k1}^{2}\right).\]d)
Můžeme vyjít z řešení bodu c). K tomu potřebujeme znát ještě časy průchodu částice osami x a y.
\[s\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{v\left(t\right)}\,\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{50t}\,\mathrm{d}t\,=\,\left[25t^{2}\right]_{t_1}^{t_2}\,=\,25\left(t_2^{2}-t_1^{2}\right)\,,\]kde:
\(t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou y (viz úloha Pohyb částice I),
\(t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou x (viz úloha Pohyb částice I),
\[s\,=\,25\cdot(\frac{1}{\sqrt{5}})^{2}-25{\cdot}0\,,\] \[s\,=\,5\,\mathrm{m}\,.\]Dráhu můžeme určit i z obrázku trajektorie částice:
\[s\,=\,\sqrt{4^{2}+3^{2}}\,\mathrm{m}\,=\,5\,\mathrm{m}\,.\]e)
Dobu, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y, určíme jako:
\[\Delta{t}\,=\,t_2-t_1\,,\]kde:
\(t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou y,
\(t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou x.
Pak platí:
\[\Delta{t}\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s}\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]f)
Průměrnou velikost rychlosti částice na úseku mezi osami x, y definujeme jako celkovou uraženou dráhu na tomto úseku dělenou celkovou dobou pohybu. Celkovou dráhu i celkovou dobu pohybu na tomto úseku známe z řešení bodu d) a e).
Tedy:
\[v\,=\,\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\,=\,\frac{5}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,.\]g)
Průměrná velikost rychlosti je dána vztahem:
\[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\,=\,\frac{ \int_{t_1}^{t_2}{v(t)}\,\mathrm{d}t }{t_2-t_1}\,.\]V případě, že velikost rychlosti je lineární funkcí času \(v\left(t\right)\,=\,k\cdot t\), pak platí:
\[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{\int_{t_1}^{t_2}{k.t}\,dt}{t_2-t_1}\,=\,\frac{\frac{1}{2}kt_2^{2}-\frac{1}{2}kt_1^{2}}{t_2-t_1}\,=\,\frac{\frac{k}{2}(t_2+t_1)(t_2-t_1)}{t_2-t_1}\,,\] \[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{k}{2}(t_2+t_1)\,=\,\frac{v_1+v_2}{2}\,.\]Uvedený vzorec je tedy obecně platný pro jakoukoli funkci v(t), která je lineární funkcí času.
Lze ho tedy použít i pro náš konkrétní případ:
\[v_1\,=\,50t_1\,=\,50{\cdot} 0 \,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\, 0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,,\] \[v_2\,=\, 50t_2\,=\,50\cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\,\frac{50}{\sqrt{5}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\,10\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,,\] \[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{(v_1+v_2)}{2}\,=\,\frac{10\sqrt{5}}{2}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,.\]Odpověď
a)
Rovnice trajektorie pohybu částice:
\[y\,=\,4-\left(\frac{4}{3}\right)x\,,\] \[x\,\geq\,0\,,\] \[z\,=\,0\,.\]Trajektorií je přímka v rovině xy.
b)
c)
\[s\,=\,25\left(t_\mathrm{k2}^{2}-t_\mathrm{k1}^{2}\right)\,.\]d)
\[s\,=\,25\left(t_2^{2}-t_1^{2}\right)\,=\,5\,\mathrm{m}\,,\]kde:
\(t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)čas průchodu osou y,
\(t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou x.
Nebo z obrázku trajektorie:
\[s\,=\,\sqrt{4^{2}+3^{2}}\,\mathrm{m}\,=\,5\,\mathrm{m}\,.\]e)
\[\Delta{t}\,=\,t_2-t_1\,,\] \[\Delta{t}\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]f)
\[v\,=\,\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,,\]g)
Uvedený vzorec je obecně platný pro jakoukoli funkci v, která je lineární funkcí času.
Pro náš případ lze tedy uvedený vztah použít:
\[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{(v_1+v_2)}{2}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,.\]
