Mikroskop elektronowy i optyczny

Kod zadania: 1089

Zdolność rozdzielcza mikroskopu jest w przybliżeniu równa długości fali wykorzystywanych do uzyskania obrazu cząstek. To oznacza, że najmniejsza struktura, którą możemy dostrzec, ma rozmiary zbliżone do długości fali.

Załóżmy, że chcemy zajrzeć do wnętrza atomu, który ma rozmiary ok. 100 pm, tj. chcemy rozróżnić szczegóły rzędu 10 pm.

a) Jaką energię powinny mieć elektrony, jeśli chcemy wykorzystać mikroskop elektronowy?

b) Jaką energię powinny mieć fotony, gdybyśmy chcieli wykorzystać mikroskop optyczny?

c) Który mikroskop będzie lepszy w praktycznym wykorzystaniu i dlaczego?

  • Podpowiedź

    Według wzoru de Broglie'a między długością fali a pędem cząstki zachodzi związek:

    \[\lambda=\frac{h}{p}\,\mathrm{,}\]

    gdzie h = 6,63·10−34 Js to stała Plancka.

    Energia fotonu jest wprost proporcjonalna do częstotliwości, tj. odwrotnie proporcjonalna do jego długości fali.

  • Zapis danych

    λ = 10 pm = 10−11 m długość fali
    Ee = ? energia elektronu
    Ef = ? energia fotonu

    Z tablic:

    h = 6,63·10−34 Js stała Plancka
    me = 9,11·10−31 kg masa elektronu
    c = 3,00·108 m s−1 prędkość światła w próżni
  • Rozwiązanie

    a) Pęd pe i długość fali λe elektronu wiąże wzór de Broglie'a:

    \[\lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{e}}}\,\mathrm{,}\]

    gdzie h = 6,63·10−34 Js to stała Plancka.

    Energię kinetyczną elektronu Ee określimy na podstawie jego pędu pe

    \[E_{\mathrm{e}}=\frac{p_{\mathrm{e}}^2}{2m_{\mathrm{e}}}=\frac{\left(\frac{h}{\lambda_{\mathrm{e}}}\right)^2}{2m_{\mathrm{e}}}=\frac{h^2}{2m_{\mathrm{e}}\lambda_{\mathrm{e}}^2}=\frac{\left(6{,}63{\cdot}10^{-34}\right)^2}{2{\cdot}9{,}11{\cdot}10^{-31}\cdot\left(10^{-11}\right)^2}\,\mathrm{J}=\] \[=2{,}4{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{J}=1{,}51\,\mathrm{keV}\]

     

    b) Energia fotonu Ef wynosi

    \[E_f=hf=h\frac{c}{\lambda}=\frac{6{,}63{\cdot}10^{-34}\cdot3{,}00{\cdot}10^8}{10^{-11}}\,\mathrm{J}=\] \[=1{,}99{\cdot}10^{-14}\,\mathrm{J}=12{,}4\,\mathrm{keV.}\]

     

    c) W praktyce łatwiej zastosować mikroskop elektronowy – wystarczy przyspieszyć elektrony napięciem 1,5 kV, a więc stosunkowo niewielkim. W mikroskopie „optycznym“ musielibyśmy wykorzystać bardzo twarde promienie gamma, które chociaż też możliwe do wytworzenia, jest jednak niebezpieczne.

  • Odpowiedź

    Aby osiągnąć wymaganą zdolność rozdzielczą, należałoby wykorzystać elektrony o energii 1,51 keV, albo fotony o energii 12,4 keV.

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna