Promieniowanie i charakterystyka prądowo-napięciowa żarówki

Kod zadania: 1092

Dla klasycznej żarówki nie jest prawdą, że natężenie płynącego przez nią prądu jest wprost proporcjonalne do napięcia (tj. charakterystyka prądowo-napięciowa żarówki nie jest liniowa), ponieważ w wyniku przepływu prądu elektrycznego włókno żarówki się nagrzewa, a tym samym rośnie jej opór elektryczny. W przypadku gdy temperatura włókna stanie się zdecydowanie wyższa od temperatury otoczenia, możemy założyć że:

• Jego temperaturę określa równowaga między ciepłem wydzielającym się przy przepływie prądu elektrycznego a energią wypromieniowaną do otoczenia. Włókno żarówki będziemy traktować jako ciało doskonale czarne.

• Opór elektryczny żarówki jest wprost proporcjonalny do temperatury termodynamicznej.

Wyznacz zależność prądu płynącego przez żarówkę od napięcia zasilającego.

  • Podpowiedź 1

    Związek pomiędzy napięciem U a natężeniem prądu I opisuje prawo Ohma

    \[I = \frac{U}{R}.\]

    Do tego wzoru trzeba podstawić wzór na opór R, który jest wprost proporcjonalny do temperatury termodynamicznej włókna T, tj.

    \[ R=AT,\]

    gdzie A jest pewną stałą.

    Pozostaje określić zależność temperatury termodynamicznej włókna T od natężenia prądu i napięcia.

  • Podpowiedź 2

    W podanych warunkach moc prądu elektrycznego Pel

    \[ P_{el}=UI\]

    równa jest mocy promieniowania żarówki Pz, którą dla ciała doskonale czarnego opisuje prawo Stefana-Boltzmanna

    \[ P_z=\sigma ST^4,\]

    gdzie σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4 to tzw. stała Stefana-Boltzmanna, a S pole powierzchni.

    Stąd możemy określić temperaturę włókna.

  • Analiza

    Gdyby nie dochodziło do zmiany oporu elektrycznego włókna żarówki, natężenie prądu byłoby wprost proporcjonalne do napięcia. Wraz z rosnącym natężeniem prądu włókno żarówki coraz bardziej się nagrzewa, a tym samym rośnie jego opór elektryczny. Natężenie prądu wzrastać będzie wolniej niż w sytuacji stałego oporu włókna.

    Prąd elektryczny przepływający przez żarówkę uwalnia ciepło Joule'a, które ogrzewa włókno. Z kolei włókno wypromieniowuje energię do otoczenia. Ilość wypromieniowanej energii jest wprost proporcjonalna do T 4 (przy założeniu, że włókno traktujemy jako ciało doskonale czarne, podlegające prawu Stefana-Boltzmanna), gdzie T to temperatura termodynamiczna. Stąd możemy określić zależność temperatury od napięcia i natężenia prądu. Ten wzór podstawimy do prawa Ohma.

  • Rozwiązanie

    Zgodnie z treścią zadania, moc prądu elektrycznego Pel równa jest mocy promieniowania żarówki Pz.

    Moc prądu elektrycznego określamy jako iloczyn napięcia U i natężenia prądu I:

    Pel = UI.

    Moc promieniowania ciała doskonale czarnego opisuje prawo Stefana-Boltzmanna

    Pz = σST 4,

    gdzie σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4 to tzw. stała Stefana-Boltzmanna, a S pole powierzchi. Stąd możemy wyznaczyć temperaturę włókna:

    \[UI=\sigma ST^4\] \[T=\sqrt[4]{\frac{UI}{\sigma S}}\]

    Mamy określić zależność natężenia prądu I od napięcia U. Zastosujemy prawo Ohma:

    \[I=\frac{U}{R}\]

    gdzie opór elektryczny R jest wprost proporcjonalny do temperatury termodynamicznej (nieznany współczynnik proporcjonalności oznaczymy A): R = AT.

    Wyrażenia na opór elektryczny R i temperaturę termodynamiczną T podstawimy do prawa Ohma:

    \[I=\frac{U}{AT}=\frac{U}{A \sqrt[4]{\frac{UI}{\sigma S}}}\]

    i wyznaczymy natężenie prądu I:

    \[I=\frac{U}{A}\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{UI}}\] \[/^4\]
    \[I^4=\frac{U^4}{A^4}\,\frac{\sigma S}{UI}\]
    \[I^5=\frac{\sigma S}{A^4}U^3\] \[/\sqrt[5]{()}\]
    \[I=\sqrt[5]{\frac{\sigma S}{A^4}}\,U^{\frac{3}{5}}\]
    \[I=CU^{\frac{3}{5}}\]

    W ostatnim wyrażeniu kombinację stałych A, S i σ oznaczyliśmy jako C. Chodzi o stałą charakteryzującą daną żarówkę. I dalej z ostatniego wzoru widzimy też, że wraz z rosnącym napięciem natężenie prądu rośnie wolniej, niż w przypadku proporcjonalności prostej.

  • Odpowiedź

    Przy temperaturze włókna wyraźnie wyższej od temperatury otoczenia natężenie prądu jest proporcjonalne do \[U^{\frac{3}{5}}\] .

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)