Promieniowanie i charakterystyka prądowo-napięciowa żarówki

Kod zadania: 1092

Dla klasycznej żarówki nie jest prawdą, że natężenie płynącego przez nią prądu jest wprost proporcjonalne do napięcia (tj. charakterystyka prądowo-napięciowa żarówki nie jest liniowa), ponieważ w wyniku przepływu prądu elektrycznego włókno żarówki się nagrzewa, a tym samym rośnie jej opór elektryczny. W przypadku gdy temperatura włókna stanie się zdecydowanie wyższa od temperatury otoczenia, możemy założyć że:

• Jego temperaturę określa równowaga między ciepłem wydzielającym się przy przepływie prądu elektrycznego a energią wypromieniowaną do otoczenia. Włókno żarówki będziemy traktować jako ciało doskonale czarne.

• Opór elektryczny żarówki jest wprost proporcjonalny do temperatury termodynamicznej.

Wyznacz zależność prądu płynącego przez żarówkę od napięcia zasilającego.

Podpowiedź 1
Związek pomiędzy napięciem U a natężeniem prądu I opisuje prawo Ohma
\[I = \frac{U}{R}.\]
Do tego wzoru trzeba podstawić wzór na opór R, który jest wprost proporcjonalny do temperatury termodynamicznej włókna T, tj.
\[ R=AT,\]
gdzie A jest pewną stałą.

Pozostaje określić zależność temperatury termodynamicznej włókna T od natężenia prądu i napięcia.
Podpowiedź 2
W podanych warunkach moc prądu elektrycznego P_el
\[ P_{el}=UI\]
równa jest mocy promieniowania żarówki P_z, którą dla ciała doskonale czarnego opisuje prawo Stefana-Boltzmanna
\[ P_z=\sigma ST^4,\]
gdzie σ = 5,67·10⁻⁸ Wm⁻²K⁻⁴ to tzw. stała Stefana-Boltzmanna, a S pole powierzchni.

Stąd możemy określić temperaturę włókna.
Analiza
Gdyby nie dochodziło do zmiany oporu elektrycznego włókna żarówki, natężenie prądu byłoby wprost proporcjonalne do napięcia. Wraz z rosnącym natężeniem prądu włókno żarówki coraz bardziej się nagrzewa, a tym samym rośnie jego opór elektryczny. Natężenie prądu wzrastać będzie wolniej niż w sytuacji stałego oporu włókna.

Prąd elektryczny przepływający przez żarówkę uwalnia ciepło Joule'a, które ogrzewa włókno. Z kolei włókno wypromieniowuje energię do otoczenia. Ilość wypromieniowanej energii jest wprost proporcjonalna do T ⁴ (przy założeniu, że włókno traktujemy jako ciało doskonale czarne, podlegające prawu Stefana-Boltzmanna), gdzie T to temperatura termodynamiczna. Stąd możemy określić zależność temperatury od napięcia i natężenia prądu. Ten wzór podstawimy do prawa Ohma.

Rozwiązanie

Zgodnie z treścią zadania, moc prądu elektrycznego P_el równa jest mocy promieniowania żarówki P_z.

Moc prądu elektrycznego określamy jako iloczyn napięcia U i natężenia prądu I:

P_el = UI.

Moc promieniowania ciała doskonale czarnego opisuje prawo Stefana-Boltzmanna

P_z = σST ⁴,

gdzie σ = 5,67·10⁻⁸ Wm⁻²K⁻⁴ to tzw. stała Stefana-Boltzmanna, a S pole powierzchi. Stąd możemy wyznaczyć temperaturę włókna:

\[UI=\sigma ST^4\] \[T=\sqrt[4]{\frac{UI}{\sigma S}}\]

Mamy określić zależność natężenia prądu I od napięcia U. Zastosujemy prawo Ohma:

\[I=\frac{U}{R}\]

gdzie opór elektryczny R jest wprost proporcjonalny do temperatury termodynamicznej (nieznany współczynnik proporcjonalności oznaczymy A): R = AT.

Wyrażenia na opór elektryczny R i temperaturę termodynamiczną T podstawimy do prawa Ohma:

\[I=\frac{U}{AT}=\frac{U}{A \sqrt[4]{\frac{UI}{\sigma S}}}\]

i wyznaczymy natężenie prądu I:

\[I=\frac{U}{A}\sqrt[4]{\frac{\sigma S}{UI}}\]	\[/^4\]
\[I^4=\frac{U^4}{A^4}\,\frac{\sigma S}{UI}\]
\[I^5=\frac{\sigma S}{A^4}U^3\]	\[/\sqrt[5]{()}\]
\[I=\sqrt[5]{\frac{\sigma S}{A^4}}\,U^{\frac{3}{5}}\]
\[I=CU^{\frac{3}{5}}\]

W ostatnim wyrażeniu kombinację stałych A, S i σ oznaczyliśmy jako C. Chodzi o stałą charakteryzującą daną żarówkę. I dalej z ostatniego wzoru widzimy też, że wraz z rosnącym napięciem natężenie prądu rośnie wolniej, niż w przypadku proporcjonalności prostej.

Odpowiedź
Przy temperaturze włókna wyraźnie wyższej od temperatury otoczenia natężenie prądu jest proporcjonalne do \[U^{\frac{3}{5}}\] .