Bilans cieplny Ziemi
Kod zadania: 1091
Głównym źródłem energii w Układzie Słonecznym jest Słońce. Załóżmy, że Słońce promieniuje jako ciało doskonale czarne o temperaturze powierzchni 5800 K. Promieniowanie Słońca jest jednorodne we wszystkich kierunkach i dociera do planet. Średnia temperatura na większości planet jest określona poprzez równowagę pomiędzy absorbowaną energią słoneczną a energią wypromieniowywaną przez planetę w otaczającą ją przestrzeń. Jaką średnia temperatura odpowiadałaby Zemi, jeśli i ją potraktujemy jako ciało doskonale czarne.
Podpowiedź
Całkowite natężenie promieniowania I ciała doskonale czarnego, w naszym przypadku Słońca, opisuje prawo Stefana-Boltzmanna:
\[I=\sigma T^4,\]gdzie σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4. Natężenie promieniowania to moc wypromieniowywana przez jednostkę powierzchni ciała.
Słońce wypromieniowuje energię we wszystkich kierunkach jednakowo, musimy określić, jaka część tej całkowitej energii padnie na powierzchnię Ziemi.
Określimy temperaturę równowagi dla Ziemi, tzn. w oparciu o założenie, że tyle samo energii, ile pada na Ziemię, Ziemia musi wypromieniować. W przeciwnym razie planeta albo by się ogrzewała, albo ochładzała.
Analiza
Według prawa Stefana-Boltzmanna moc promieniowania ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury termodynamicznej, a natężenie promieniowania określimy dzieląc moc przez pole powierzchni Słońca (stąd możemy określić całkowitą ilość energii emitowanej przez Słońce w jednostce czasu).
W ten sam sposób, można wyrazić ilość energii promieniowanej przez Ziemię z jej średniej temperatury. Zakładając stan równowagi, energia ta musi być równa energii, która dociera do Ziemi ze Słońca. Zależy ona od odległości planety i jej rozmiarów.
Zapis danych
T = 5800 K temperatura powierzchni Słońca TZ = ? temperatura Ziemi Z tablic:
R = 6,96·108 m promień Słońca r = 1,50·1011 m odległość Ziemi od Słońca RZ = 6 380 km promień Ziemi Rozwiązanie
Natężenie promieniowania ciała doskonale czarnego opisuje prawo Stefana–Boltzmanna
I = σT 4,gdzie σ = 5,67·10−8 Wm−2K−4 to tzw. stała Stefana–Boltzmanna. Całkowitą moc promieniowania P określimy mnożąc tę wartość przez powierzchnię S.
P = SI.Powierzchnię Słońca S określimy za pomocą jego promienia R:
S = 4πR2.Słońce promieniowuje więc z mocą:
P = 4πR2σT 4.To promieniowanie rozchodzi się we wszystkich kierunkach, a na Ziemię trafia jego część PZ. Między mocą całkowitą P a mocą padającą na Zemię PZ jest związek taki, jak między powierzchnią kuli o promieniu równym odległości Ziemi od Słońca r a powierzchnią Ziemi (tj. powierzchnią koła o promieniu Ziemi RZ). Zachodzi więc:
\[\frac{P_{\mathrm{Z}}}{P}=\frac{\pi R_{\mathrm{Z}}^2}{4\pi r^2}\,\Rightarrow P_{\mathrm{Z}}=4\pi r^2\sigma T^4\frac{\pi R_{\mathrm{Z}}^2}{4\pi r^2}=\sigma T^4\frac{\pi R^2R_{\mathrm{Z}}^2}{r^2}\,\mathrm{.}\]Moc promieniowania Ziemi PZ określimy podobnie jak dla Słońca, wstawiając promień Ziemi RZ i średnią temperaturę równowagi termodynamicznej dla Ziemi TZ
PZ = 4πRZ2σTZ4.Oba wyrażenia na moc Ziemi PZ porównujemy:
\[4\pi R_{\mathrm{Z}}^2\sigma T_{\mathrm{Z}}^4=\sigma T^4\frac{\pi R^2R_{\mathrm{Z}}^2}{r^2}\]i obliczamy temparaturę Ziemi TZ
\[T_{\mathrm{Z}}^4=T^4\frac{R^2}{4r^2}\] \[T_{\mathrm{Z}}=T\sqrt{\frac{R}{2r}}\,\mathrm{.}\]Podstawiamy za temperaturę Słońca T = 5800 K, promień Słońca R = 6,96·108 m i odległość Ziemi od Słońca r = 1,50·1011 m
\[T_{\mathrm{Z}}=5800\,\sqrt{\frac{6{,}96{\cdot}10^8}{2{\cdot}1{,}50{\cdot}10^11}}\,\mathrm{K}=279\,\mathrm{K}=6\,\mathrm{^{\circ}C\,.}\]Odpowiedź
Według poczynionych założeń średnia temperatura Ziemi wynosiłaby 6 °C, co całkiem nieźle odpowiada rzeczywistości.
