Wyznaczenie stałej Plancka i pracy wyjścia z danych eksperymentalnych dla zjawiska fotoelektrycznego

Kod zadania: 1095

Z następujących wartości zmierzonych dla zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego dla litu wyznacz stałą Plancka i pracę wyjścia dla tego pierwiastka. Otrzymane wartości porównaj z wartościami z tablic.

długość fali promieniowania λ [nm] 433,9 404,7 365,0 312,5 253,5
napięcie hamowania U [V] 0,55 0,73 1,09 1,67 2,57
  • Podpowiedź

    Do rozwiązania zadania niezbędna jest znajomość równania Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego, które określa maksymalną energię kinetyczną Ek uwalnianych elektronów:

    \[E_k=hf-W_v,\]

    gdzie iloczyn stałej Plancka h i częstotliwości promieniowania f określa energię pojedynczego padającego fotonu, a Wv to tzw. praca wyjścia (stała charakteryzująca dany metal).

    Równanie to mówi nam, że pomiędzy częstotliwością promieniowania a maksymalną energią kinetyczną wybijanych elektronów istnieje liniowa zależność. Najprościej będzie więc przeliczyć podane długości fali na częstotliwości, a z napięcia hamowania określić energię kinetyczną elektronów. Następnie wielkości te przedstawić graficznie, dopasować prostą, a z jej równania określić zadane stałe.

    Dopasowanie prostej – tzw. regresję liniową – można wykonać na wykresie, z użyciem kalkulatora, można też posłużyć się jednym z programów komputerowych, np. MS Excel.

  • Analiza

    W zjawisku fotoelektrycznym zaobserwowano, że padające na powierzchnię metalu światło (czy też ogólniej: promieniowanie elektromagnetyczne) może w pewnych warunkach uwalniać z metalu elektrony, tworzące tzw. prąd fotoelektryczny. Zjawisko to wyjaśnił A. Einstein, podając odpowiednie równanie, określające maksymalną energię kinetyczną Ek uwalnianych elektronów.

    Maksymalną energię kinetyczną elektronów mierzymy przy pomocy napięcia hamowania, tj. poprzez pomiar napięcia, przy którym żaden uwolniony elektron nie zamyka już obwodu prądu (prąd przestaje płynąć). Praca, którą wykonują siły elektryczne, zatrzymując elektron, równa jest energii kinetycznej, którą posiadał on po uwolnieniu.

    W równaniu Einsteina występują praca wyjścia i stała Plancka; będziemy mogli określić te stałe, porównując podane zmierzone w zjawisku wielkości.

  • Rozwiązanie

    Przypomnijmy równanie Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego, określające maksymalną energię kinetyczną Ek uwalnianych elektronów:

    \[E_k=hf-W_v,\]

    gdzie iloczyn stałej Plancka h i częstotliwości promieniowania f określa energię pojedynczego padającego fotonu, a Wv to tzw. praca wyjścia (stała charakteryzująca dany metal).

    Maksymalna energia kinetyczna elektronu Ek równa jest pracy, którą wykonają siły elektryczne, gdy elektron zatrzymany zostanie przez tzw. napięcie hamowania. Pracę w polu elektrycznym możemy określić jako iloczyn ładunku elektronu e i napięcia U, tj. zachodzi

    \[E_k=eU,\]

    gdzie e = 1,6·10−19 C to ładunek elementarny.

    Ze zmierzonych danych wyznaczymy energię kinetyczną elektronów i częstotliwość promieniowania, tj. wielkości, które występują w równaniu Einsteina:

    długość fali promieniowania λ [nm] 433,9 404,7 365,0 312,5 253,5
    częstotliwość promieniowania f [Hz] 6,914·1014 7,413·1014 8,219·1014 9,600·1014 11,834·1014
    napięcie hamowania U [V] 0,55 0,73 1,09 1,67 2,57
    maks. energia kinetyczna elektronu Ek [J] 0,880·10−19 1,168·10−19 1,744·10−19 2,672·10−19 4,112·10−19

    Obliczone wartości przedstawimy na wykresie:

    Wykres zależności energii kinetycznej od częstotliwości
    Plik źródłowy (MS Excel)

    Z wykresu widzimy, że zmierzone wielkości rzeczywiście leżą na prostej, jak przewiduje równanie Einsteina (funkcja liniowa). Spróbujmy określić równanie prostej (np. w programie MS Excel postulując trend liniowy).

    Na osi odciętych jest częstotliwość f, tj. zamiast x zapiszmy f, a zamiast y energię kinetyczną Ek na osi rzędnych. Pozostawmy takie rzędy jednostek, których używaliśmy przy sporządzaniu wykresu. Otrzymujemy równanie:

    \[\frac{E_{\mathrm{k}}}{10^{-19}\,\mathrm{J}}=0{,}6616\frac{f}{10^{14}\,\mathrm{Hz}}-3{,}7039\]

    Równanie to przekształcimy i podstawimy wyrażenie 1 Hz = 1 s−1.

    \[E_{\mathrm{k}}=\frac{0{,}6616{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}}{10^{14}\,\mathrm{Hz}}f-3{,}7039{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}\] \[E_{\mathrm{k}}=6{,}6{\cdot}10^{-34}\,\mathrm{Js}\,f-3{,}7{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}\]

    Porównując otrzymane równanie z równaniem Einsteina, otrzymujemy:

    h = 6,6·10−34 Js

    Wv = 3,7·10−19 J

    Wyznaczona stała Plancka h zgadza się z wartością z tablic.

    Możemy też sprawdzić w tablicach, że praca wyjścia Wv dla litu wynosi 2,36 eV. Skorzystamy z przeliczenia jednostek energii 1 eV = 1,6·10−19 J, otrzymując

    Wv = 2,36 eV = 2,36·1,6·10−19 J = 3,8·10−19 J,

    co też zupełnie nieźle zgadza się z wyznaczoną wartością.

  • Odpowiedź

    Ze zmierzonych danych wyznaczyliśmy stałą Plancka h = 6,6·10−34 Js i pracę wyjścia dla litu Wv = 3,7·10−19 J. Obie wielkości zgadzają się z wartościami z tablic.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)