Klasyczny model atomu wodoru

Kod zadania: 1096

Całkowita energia elektronu w stanie podstawowym wynosi −13,6 eV. Potraktujmy go jako klasyczną cząstkę, obiegającą proton po orbicie kołowej. Wyznacz promień tej orbity, energię potencjalną i kinetyczną oraz prędkość elektronu.

  • Zapis danych

    E1 = −13,6 eV energia elektronu w atomie wodoru w stanie podstawowym
    r = ? promień orbity elektronu (tzw. promień Bohra)
    Ek = ? energia kinetyczna elektronu
    Ep = ? energia potencjalna elektronu
    v = ? prędkość elektronu

    Z tablic:

    c = 1,6·10−19 C ładunek elektronu
    me = 9,1·10−31 kg masa elektronu
    ε0 = 8,8·10−12 Fm−1 przenikalność elektryczna próżni
  • Podpowiedź

    Zakładamy, że elektron porusza się dokoła jądra (protonu) po okręgu. To oznacza, że siła elektryczna działająca pomiędzy nimi spełnia rolę siły dośrodkowej.

    Na całkowitą energię elektronu składa się energia kinetyczna i potencjalna elektrostatyczna, która ma wartość ujemną, ze względu na przyciąganie elektronu i protonu.

    Otrzymamy dwa równania z dwiema niewiadomymi – prędkością elektronu i jego odległością od jądra.

  • Analiza

    Całkowita energia elektronu składa się z energii kinetycznej i potencjalnej. Energia potencjalna wynika z oddziaływania elektrostatycznego między elektronem a jądrem (protonem). Energia ta zależy od ładunku obu cząstek i ich odległości (promienia orbity elektronu), a ponieważ obie cząstki się przyciągają (mają przeciwne znaki ładunku), jest ujemna.

    Energia kinetyczna zależy od szybkości. Prędkość elektronu musi być tak duża, aby siła przyciągania elektrostatycznego ze strony jądra została zrównoważona przez siłę odśrodkową. Z porównania tych dwóch sił określimy prędkość elektronu w funkcji odległości.

    W ten sposób całkowita energia będzie wyrażona już tylko poprzez jedną niewiadomą – promień orbity, który będziemy mogli określić i wykorzystać w dalszych obliczeniach.

  • Rozwiązanie

    Całkowita energia E to suma energii kinetycznej Ek i potencjalnej Ep, przy czym przez potencjalną rozumiemy elektrostatyczną:

    \[E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}v^2-k\frac{e^2}{r}\,\mathrm{.}\]

    Prędkość elektronu musi być taka, aby siła elektryczna Fe przyciągania jądra spełniała rolę siły dośrodkowej Fd:

    \[F_{\mathrm{e}}=F_{\mathrm{d}},\] \[k\frac{e^2}{r}=m_{\mathrm{e}}\frac{v^2}{r}.\]

    Stąd wyznaczymy prędkość v

    \[v^2=k\frac{e^2}{m_{\mathrm{e}}r}\]

    i podstawimy do wzoru na energię całkowitą E

    \[E=\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}\frac{ke^2}{m_{\mathrm{e}}r}-k\frac{e^2}{r}=-\frac{ke^2}{2r}.\]

    Wyznaczymy szukany promień r:

    \[r=-\frac{ke^2}{2E}=-\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 E_1}\]

    i podstawimy znane wielkości, za energię całkowitą E podstawimy energię elektronu w stanie podstawowym E1, którą przeliczymy na dżule:

    \[r=-\frac{\left(1{,}6{\cdot}10^{-19}\right)^2}{8\pi\cdot8{,}8{\cdot}10^{-12}\cdot\left(-13{,}6{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}\right)}\,\mathrm{m}=5{,}3{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{m}.\]

    Energia potencjalna Ep elektronu wynosi

    \[E_{\mathrm{p}}=-k\frac{e^2}{r}=-\frac{ke^2}{-\frac{ke^2}{2E_1}}=2E_1=-27{,}2\,\mathrm{eV}.\]

    Energię kinetyczną Ek elektronu określimy najprościej ze wzoru na energię całkowitą

    \[E_1=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}\] \[E_{\mathrm{k}}=E_1-E_{\mathrm{p}}=E_1-2E_1=-E_1=13{,}6\,\mathrm{eV}\]

    a prędkość ze wzoru na energię kinetyczną

    \[E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}m_{\mathrm{e}}v^2\,\Rightarrow\,v=\sqrt{\frac{2E_{\mathrm{k}}}{m_{\mathrm{e}}}}=\sqrt{\frac{-2E_1}{m_{\mathrm{e}}}}\] \[v=\sqrt{\frac{-2\cdot\left(-13{,}6{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}\right)}{9{,}1{\cdot}10^{-31}}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=1{,}5{\cdot}10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}}.\]
  • Odpowiedź

    Gdybyśmy na atom wodoru patrzyli w sposób klasyczny, promień orbity elektronu w stanie podstawowym wynosiłby 5,3 · 10−11 m (co odpowiada wartości tzw. promienia Bohra podawanej w tablicach), jego energia potencjalna miałaby wartość −27,2 eV, kinetyczna 13,6 eV, a prędkość 1500 km s−1.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)