Indukcyjność własna solenoidu
Kod zadania: 1006
Długi solenoid cylindryczny o promieniu uzwojenia 1,6 cm ma 100 zwojów przypadających na 1 cm długości. Załóżmy, że pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest jednorodne i równoległe do jego osi.
a) Ile wynosi indukcyjność solenoidu przypadająca na jednostkę jego długości (1 metr)?
b) Jaka jest wartość indukowanej siły elektromotorycznej na długości 1 metra solenoidu jeżeli zmiana w czasie natężenia płynącego w nim prądu elektrycznego wynosi 13 As-1?
Podpowiedź
Zastanowić się jaką postać ma wyrażenie opisujące siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce. Od jakich wielkości zależy indukcyjność cewki.
Analiza
W zadaniu będziemy używać liczby zwojów przypadającej na 1 metr długości N/m. Łatwo policzyć, że jeżeli na 1 cm długości przypada 100 uzwojeń, to na 1 metrze będzie ich 10 000. Można więc sobie wyobrazić, że mamy doczynienia z cewką o długości 1 metra złożoną z 10 000 zwojów.
a) Indukcyjność cewki zdefiniowana jest jako
\[L=\frac{\Phi}{I}\]Całkowity strumień magnetyczny jest iloczynem liczby uzwojeń (w naszym przypadku liczby zwojów na 1 metrze długości) i strumienia magnetycznego w jednym zwoju.
b) Prąd płynący jednym zwojem cewki wytwarza wewnątrz tego zwoju strumień indukcji magnetycznej, który jest proporcjonalny do wartości natężenia tego prądu. Wszystkie N zwojów cewki wytwarza całkowity strumień NΦ. Siła elektromotoryczna, która jest indukowana w cewce, określana jest jako stosunek całkowitego strumienia do jego zmiany w czasie. Za całkowity strumień podstawiamy wyrażenie ze wzoru na indukcyjność cewki.
Rozwiązanie
a) Indukcyjność solenoidu definiowana jest jako stała proporcjonalności pomiędzy całkowitym strumieniem magnetycznym cewki a natężeniem prądu:
\[N\Phi = LI\]gdzie N jest liczbą uzwojeń na 1 metr długości, zatem N = 10 000. Strumień indukcji magnetycznej Φ jest strumieniem w jednym zwoju. Ponieważ pole magnetyczne jest jednorodne zachodzi relacja
\[\Phi = BS\cos{\alpha}\]Indukcja magnetyczna B jest wszędzie prostopadła do przekroju cewki, cos α = 1, gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem indukcji magnetycznej B i normalną do powierzchni, zatem α = 0°. Solenoid ma okrągły przekrój poprzeczny, którego pole powierzchni jest dane wzorem
\[S=\pi R^{2}\]Wyrażenie na indukcję magnetyczną B wewnątrz cewki ma postać:
\[B = \mu_o NI\]Po podstawieniu powyższych wyrażeń do pierwszego wzoru dostaniemy
\[N\mu_o NI\pi R^{2}=LI\]W związku z tym, wyrażenie na szukaną indukcyjność L
ma postać: \[L=\mu_o \pi N^{2}R^{2}\]b) Siła elektromotoryczna indukowana w cewce dana jest relacją:
\[|U_i| =\left| \frac {\mathrm{d}(N\Phi)}{\mathrm{d} t} \right|\]Dla cewki o indukcyjności L i długości 1 metra zachodzi relacja:
\[N \Phi = L I\]Zastępując wyraz NΦ wyrazem LI dostaniemy wzór opisujący indukowaną siłę elektromotoryczną w zależności od zmian natężenia prądu w czasie.
\[|U_i| =L \frac {\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}\]Rozwiązanie numeryczne
\[n = 10\,000\,\mathrm{m^{-1}}\] \[r=1{,}6\,\mathrm{cm} = 0{,}016\,\mathrm{m}\] \[\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = 13\,\mathrm{As^{-1}}\] \[L =\,?\] \[U_i =\,?\]
\[L=\mu_o \pi n^{2}R^{2}=4 \pi \cdot10^{-7}\cdot \pi \cdot 10^{8} \cdot 0{,}016^{2}\,\mathrm{H} = 0{,}1\,\mathrm{H} \] \[|U_i| =L \, \frac {d I}{d t}= 0{,}1 \cdot {13} \,\mathrm{V}=1{,}3\,\mathrm{V}\]Odpowiedź
Jeden metr solenoidu ma indukcyjność L = 0,1 H.
W solenoidzie indukowana jest siła elektromotoryczna o wartości Ui = 1,3 V.
