Indukcyjność cewki

Kod zadania: 1044

Indukcyjność gęsto nawiniętej cewki jest taka, że przy zmianie prądu o 5A/s indukuje się w niej siła elektromotoryczna SEM o wartości 3mV. Ponadto wiemy, że stały prąd 8A wytworzy w każdym zwoju cewki strumień magnetyczny o wartości 8μWb.

a) Określ indukcyjność cewki.

b) Określ liczbę zwojów cewki.

  • Podpowiedź

    Dowiedz się jak wygląda zależność na siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce. Indukcyjność cewki jest współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy prądem płynącym przez cewkę a strumieniem magnetycznym indukowanym w cewce.

  • Analiza

    a) Prąd płynący przez zwój cewki indukuje pole magnetyczne, którego strumień Φ jest wprost proporcjonalny do „wielkości” prądu. Cewka o N liczbie zwojów tworzy strumień . Siła elektromotoryczna, jaka indukuje się w cewce, stosunkowi zmiany całkowitego strumienia magnetycznego do czasu, w którym zmiana ta nastąpiła. Całkowity strumień można także wyrazić przy pomocy indukcyjności cewki i natężenia prądu.

    b) W celu obliczenia liczby zwojów cewki wykorzystać należy związek między indukcyjnością cewki i całkowitym strumieniem magnetycznym.

  • Rozwiązanie

    a) Wartość indukowanej w cewce siły elektromotorycznej Ui jest proporcjonalna do zmiany w czasie całkowitego strumienia magnetycznego

    \[|U_i| =| \frac {\Delta(N\Phi)}{\Delta t}|\]

    Dla indukcyjności cewki L otrzymamy (patrz podpowiedź)

    \[N \Phi = L I\]

    Łącząc obie formuły uzyskujemy

    \[|U_i| = \frac {\Delta L I}{\Delta t}\]

    Indukcyjność cewki jest stała, a natężenie prądu zmienia się w czasie

    \[|U_i| =L \frac {\Delta I}{\Delta t}\]

    Z poprzedniego wzoru wyznaczamy wartość nieznanej indukcyjności L.

    \[L=\frac{|U_i|}{\frac {\Delta I}{\Delta t}}\]

    b) Ze wzoru na indukcyjność cewki

    \[N \Phi = L I\]

    wyznaczamy liczbę zwojów N

    \[N=\frac{LI}{\Phi}\]
  • Zapis i podstawienie danych liczbowych

    \[\frac{\Delta I}{\Delta t}= 5 \,\mathrm{As^{-1}}\] \[|U_i| = 3\,\mathrm {mV}= 3 \cdot{ 10^{-3} }\,\mathrm{V}\] \[I=8\,\mathrm{A}\] \[\Phi = 40\,\mathrm{\mu Wb}=40 \cdot {10^{-6}}\,\mathrm{Wb}\] \[L= \,?\] \[N=\,?\]
    \[L=\frac{|U_i|}{\frac{\Delta I}{\Delta t}}=\frac{3\cdot {10^{-3}}}{5}\,\mathrm{H}= 6\cdot {10^{-4}}\,\mathrm{H}=0{,}6\,\mathrm{mH}\] \[N=\frac{LI}{\Phi}=\frac{6\cdot {10^{-4}}\cdot 8}{40 \cdot {10^{-6}}}= 120\]
  • Odpowiedź

    Cewka ma 120 zwojów, a jej indukcyjność wynosi L = 0,6 mH.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)