Potencjometr

Kod zadania: 542

Potencjometr wykonany z materiału o oporze właściwym jednorodnym na całej długości l oraz opór Rl = al zmienia napięcie w urządzeniu o oporze R.

Znajdź napięcie i natężenie prądu płynącego przez opornik R i wyraź go jako funkcję odległości x od końca potencjometru.

Potencjometr
  • Podpowiedź

    Spróbuj narysować obwód tak, aby potencjometr był podzielony na dwie części.

  • Analiza

    Narysujmy jeszcze raz obwód z potencjometrem podzielonym na dwie części z oporami Rx i Ry (spójrz na rysunek). Możemy znaleźć opór każdej części. Opór przewodnika jest funkcją liniową jego długości, a opór części potencjometru jest proporcjonalny do długości przewodu w tej części potencjometru.

    Określmy natężenia prądów płynących przez oczka pokazane na rysunku.

    Potrzebne będzie natężenie I2 przepływające przez opornik R, ponadto wyrazimy wszystkie natężenia jako funkcje I2. Natężenie I jest sumą natężeń I1 i I2. Oporniki R i Rx są połączone równolegle, więc napięcia na tych opornikach muszą być równe. Pomaga to w wyrażeniu natężenia I1 jako funkcji I2.

    Znamy napięcie w całym obwodzie, stąd możemy wyznaczyć SEM (siłę elektromotoryczną) jako sumę spadków napięć między opornikami Rx i Ry.

    Z wyrażenia na całkowite napięcie wyznaczymy natężenie I2.

    Napięcie w oporniku R jest dane jako produkt oporu opornika i natężenie prądu przepływającego przez opornik.

  • Rysunek

    The potentiometer divided into two parts
  • Rozwiązanie

    Opór potencjometru opisuje wyrażenie:

    \[R_x+R_y\,=\,R_l\,=\,al\]

    gdzie l – długość całego potencjometru, a – wartość stała, współczynnik proporcjonalności.

    Opór przewodu jest funkcją liniową, dzięki której możemy wyrazić opory Rx i Ry jako:

    \[R_x\,=\,ax\] \[R_y\,=\,a\left(l-x\right)\]

    Naszym celem jest znalezienie natężenia I2 prądu przepływającego przez opornik R oraz zapisanie pozostałych natężeń jako funkcji natężenia I2.

    Algebraiczna suma prądów w węźle jest równa zero.

    \[I\,=\,I_1+I_2\]

    Opornik o oporze R i część potencjometru o oporności Rx są połączone równolegle, więc:

    \[RI_2\,=\,R_xI_1\,=\,axI_1\]

    Możemy zapisać I1 jako:

    \[I_1\,=\,\frac{R}{ax}I_2\tag{*}\]

    Skoro znane jest napięcie prądu płynącego w obwodzie możemy zapisać SEM (siłę elektromotoryczną) jako sumę spadków napięć na opornikach. Stąd:

    \[U\,=\,R_xI_1+R_yI\,=\,axI_1+a\left(l-x\right)\left(I_1+I_2\right)\] \[U\,=\,alI_1+a\left(l-x\right)I_2\]

    Wstawiając równanie (*) do powyższego otrzymujemy:

    \[U\,=\,al\frac{R}{ax}I_2+a\left(l-x\right)I_2\] \[U\,=\,\left(\frac{l}{x}R+a\left(l-x\right)\right)I_2\]

    Wyznaczamy współczynnik proporcjonalności a z równania:

    \[R_l\,=\,al\hspace{10px}\Rightarrow\hspace{10px}a\,=\,\frac{R_l}{l}\]

    i wstawiamy do wyrażenia opisującego napięcie:

    \[U\,=\,\left(\frac{l}{x}R+\frac{R_l}{l}\left(l-x\right)\right)I_2\]

    Możemy zapisać natężenie prądu I2 przepływającego przez opornik R:

    \[I_2\,=\,\frac{U}{\frac{l}{x}R+\frac{R_l}{l}\left(l-x\right)}\]

    i upraszczając otrzymamy:

    \[I_2\,=\,\frac{U}{\frac{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}{xl}}\]

    Ostatecznie równanie opisujące zależność natężenia prądu jako funkcji odległości x od końca potencjometru:

    \[I_R\,=\,\frac{xlU}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}\]

    Napięcie prądu przepływającego przez opornik zależy od natężenia i oporu opornika:

    \[U_R\,=\,I_RR\]

    czyli

    \[U_R\,=\,\frac{xlUR}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}.\]
  • Odpowiedź

    Napięcie i natężenie prądu przepływającego przez opornik R w zależności od odległości x opisują równania:

    \[I_R\,=\,\frac{xlU}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)},\] \[U_R\,=\,\frac{xlUR}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}.\]
Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna