Filtracja zadaň?
Poziomy
Etykiety
«
«
Szeregowy obwód RLC
Kod zadania: 1045
Obwód prądu zmiennego tworzą połączone szeregowo:

Zapis danych
Wypiszmy wielkości, które znamy :
Opór opornika R = 50 Ω Indukcyjność cewki L = 0,3 H Pojemność kondensatora C = 15 μF =15·10-6 F Amplituda napięcia źródła Um = 25 V Częstotliwość f = 50 Hz Połączenie opornika, cewki i kondensatora jest szeregowe.Wielkości, których szukamy :
Amplituda natężenia prądu w obwodzie Im = ? (A) Przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem i natężeniem φ = ? (°) Analiza zadania
Metoda rozwiązywania:
- Obliczmy wartość amplitudy natężenia prądu. Skorzystamy z prawa Ohma dla prądu zmiennego, które określa związek pomiędzy całkowitym oporem (zawadą) Z, amplitudą napięcia Um i amplitudą natężenia Im . Wszystkie niezbędne do obliczenia wielkości są dane.
- Ponieważ wszystkie elementy obwodu połączono szeregowo, płynie przez nie prąd zmienny, w którym napięcie jest przesunięte w fazie w stosunku do natężenia. Aby określić wartość tego przesunięcia, skorzystamy z diagramu fazowego.
Metoda kreślenia diagramu fazowego
Przy pomocy strzałek będziemy zaznaczać napięcia i natężenia prądu na poszczególnych elementach obwodu. Długość takiego "wektora" (fazora) odpowiada amplitudzie, kierunki i zwroty obrazują przesunięcia w fazie.
Metoda kreślenia diagramu fazowego dla obwodu:
Diagram fazowy opierać się będzie na odpowiednich miarach napięcia i natężenia prądu w obwodzie.- We wszystkich elementach obwodu szeregowego popłynie prąd o jednakowym natężeniu, niech więc wspólny "wektor" Im będzie miał kierunek i zwrot zgodny ze zwrotem osi x.
- Fazor napięcia na oporniku UR ma zwrot zgodny z fazorem natężenia. Na rysunku zaznaczono go na zielono.
- Napięcie na cewce UL „poprzedza“ natężenie o π/2 (ćwierć okresu), dlatego też jego fazor skierujemy „w górę“ – a więc zgodnie ze zwrotem osi y. Na rysunku zaznaczono go kolorem żółtym.
- Napięcie na kondensatorze UC „opóźnia się“ w stosunku do natężenia o π/2, dlatego też jego fazor skierujemy „w dół“. Zaznaczono go kolorem różowym.
- Amplitudę całkowitego napięcia otrzymamy jako „sumę wektorową“ fazorów napięcia na różnych elementach obwodu. Najpierw odejmijmy od siebie napięcia na cewce UL i kondensatorze UC (na rysunku wynik zaznaczono kolorem fioletowym). Następnie otrzymany wynik dodajemy wektorowo do napięcia na oporniku UR. Fazor amplitudy całkowitego napięcia zaznaczono kolorem jasno niebieskim.
- Przesunięciu fazowemu między napięciem a natężeniem prądu odpowiada kąt φ, który tworzą fazory natężenia i całkowitego napięcia. Na rysunku kąt φ zaznaczono kolorem ciemno niebieskim.
Dla zadanego obwodu RLC diagram fazowy wygląda jak poniżej:
Określenie wzoru na opór całkowity (zawadę) Z z diagramu fazowego
Chcąc uzyskać z diagramu fazowego wyrażenie na opór całkowity Z, wprowadźmy do diagramu fazowego w miejsce napięć opory: indukcyjny XL, pojemnościowy XC i omowy R.
Z prawa Ohma: UC=ImXC, UL=ImXL, UR=ImR.
Ponieważ w obwodzie szeregowym przez wszystkie jego elementy płynie prąd o jednakowym natężeniu, możemy wykonać diagram bardzo podobny jak dla fazorów napięcia.
Aby określić wartość oporu całkowitego Z, korzystamy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego, zapisując twierdzenie Pitagorasa.
Z2=R2+(XC−XL)2
Albo:
Z2=R2+(XL−XC)2.
Różnica między wyrażeniami polega na tym, czy natężenie prądu poprzedza napięcie, czy też jest na odwrót. Nie ma to jednak wpływu na wartość Z.
Po podstawieniu wyrażeń na opór indukcyjny i pojemnościowy otrzymamy ostatecznie:
Z=√R2+(XL−XC)2=√R2+(ωL−1ωC)2
Obliczenie wartości amplitudy natężenia prądu
Wzór na opór całkowity Z z prawa Ohma:
Z=UmIm=√R2+(ωL−1ωC)2
Mamy określić amplitudę natężenia prądu Im. Z powyższego wzoru otrzymujemy:
Im=Um√R2+(ωL−1ωC)2
Określenie przesunięcia fazowego z diagramu
Przesunięcie fazowe na podstawie diagramu określimy jako: tgφ=UL−UCUR=ImωL−Im(ωC)ImR=ωL−1(ωC)R=XL−XCR
Niekiedy przy kreśleniu diagramu i określaniu przesunięcia fazowego zamiast wzoru
tgφ=UL−UCUR=XL−XCR
stosujemy
tgφ=UC−ULUR=XC−XLR
W pierwszym przypadku napięcie poprzedza natężenie, w drugim jest odwrotnie.
Rozwiązanie liczbowe
Amplituda natężenia prądu:
Im=Um√R2+(ωL−1ωC)2=
=25√502+(2⋅π⋅50⋅0,3−12⋅π⋅50⋅15⋅10−6)2A˙=0,2A
Przesunięcie fazowe możemy obliczyć znając opory:
tgφ=ωL−1ωCR=2⋅π⋅50⋅0,3−12⋅π⋅50⋅15⋅10−650˙=−2,4
Możemy też je określić na podstawie wartości napięć na poszczególnych elementach obwodu:
Napięcia na poszczególnych elementach obwodu wynoszą:
UR=ImR˙=0,2⋅50V=10V
UL=ImωL˙=0,2⋅2⋅π⋅50⋅0,3V˙=18,85V
UC=ImωC˙=0,22⋅π⋅50⋅15⋅10−6V˙=42,44V
Z diagramu fazowego określmy wartość przesunięcia fazowego:
tgφ=UL−UCUR˙=18,85−42,4410˙=−2,4
Obydwie metody dają ten sam wynik:
φ˙=−67°
Znak minus oznacza, że napięcie opóźnia się w stosunku do natężenia.
Odpowiedź
Amplituda prądu w rozważanym obwodzie RLC ma przybliżoną wartość:
Im = 0,2 A.Między napięciem i natężeniem występuje przesunięcie fazowe:
φ = -67°.Ze znaku otrzymanej wartości wnioskujemy, że napięcie opóźnia się w stosunku do natężenia o 67°.