Szeregowy obwód RLC

Kod zadania: 1045

Obwód prądu zmiennego tworzą połączone szeregowo:

opornik o oporze 50 Ω,

cewka o indukcyjności 0,3 H

i kondensator o pojemności 15 μF.

Obwód przyłączono do źródła prądu zmiennego o amplitudzie napięcia 25 V i częstotliwości 50 Hz. Oblicz amplitudę natężenia prądu w obwodzie i przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem i natężeniem.

Zapis danych

Wypiszmy wielkości, które znamy :

Opór opornika	R = 50 Ω
Indukcyjność cewki	L = 0,3 H
Pojemność kondensatora	C = 15 μF =15·10^-6 F
Amplituda napięcia źródła	U_m = 25 V
Częstotliwość	f = 50 Hz

Połączenie opornika, cewki i kondensatora jest szeregowe.

Wielkości, których szukamy :

Amplituda natężenia prądu w obwodzie	I_m = ? (A)
Przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem i natężeniem	φ = ? (°)

Analiza zadania
Metoda rozwiązywania:
1. Obliczmy wartość amplitudy natężenia prądu. Skorzystamy z prawa Ohma dla prądu zmiennego, które określa związek pomiędzy całkowitym oporem (zawadą) Z, amplitudą napięcia U_m i amplitudą natężenia I_m . Wszystkie niezbędne do obliczenia wielkości są dane.
2. Ponieważ wszystkie elementy obwodu połączono szeregowo, płynie przez nie prąd zmienny, w którym napięcie jest przesunięte w fazie w stosunku do natężenia. Aby określić wartość tego przesunięcia, skorzystamy z diagramu fazowego.
Metoda kreślenia diagramu fazowego
Przy pomocy strzałek będziemy zaznaczać napięcia i natężenia prądu na poszczególnych elementach obwodu. Długość takiego "wektora" (fazora) odpowiada amplitudzie, kierunki i zwroty obrazują przesunięcia w fazie.

Metoda kreślenia diagramu fazowego dla obwodu:

Diagram fazowy opierać się będzie na odpowiednich miarach napięcia i natężenia prądu w obwodzie.
1. We wszystkich elementach obwodu szeregowego popłynie prąd o jednakowym natężeniu, niech więc wspólny "wektor" I_m będzie miał kierunek i zwrot zgodny ze zwrotem osi x.
2. Fazor napięcia na oporniku U_R ma zwrot zgodny z fazorem natężenia. Na rysunku zaznaczono go na zielono.
3. Napięcie na cewce U_L „poprzedza“ natężenie o π/2 (ćwierć okresu), dlatego też jego fazor skierujemy „w górę“ – a więc zgodnie ze zwrotem osi y. Na rysunku zaznaczono go kolorem żółtym.
4. Napięcie na kondensatorze U_C „opóźnia się“ w stosunku do natężenia o π/2, dlatego też jego fazor skierujemy „w dół“. Zaznaczono go kolorem różowym.
5. Amplitudę całkowitego napięcia otrzymamy jako „sumę wektorową“ fazorów napięcia na różnych elementach obwodu. Najpierw odejmijmy od siebie napięcia na cewce U_L i kondensatorze U_C (na rysunku wynik zaznaczono kolorem fioletowym). Następnie otrzymany wynik dodajemy wektorowo do napięcia na oporniku U_R. Fazor amplitudy całkowitego napięcia zaznaczono kolorem jasno niebieskim.
6. Przesunięciu fazowemu między napięciem a natężeniem prądu odpowiada kąt φ, który tworzą fazory natężenia i całkowitego napięcia. Na rysunku kąt φ zaznaczono kolorem ciemno niebieskim.
Dla zadanego obwodu RLC diagram fazowy wygląda jak poniżej:
Określenie wzoru na opór całkowity (zawadę) Z z diagramu fazowego
Chcąc uzyskać z diagramu fazowego wyrażenie na opór całkowity Z, wprowadźmy do diagramu fazowego w miejsce napięć opory: indukcyjny X_L, pojemnościowy X_C i omowy R.

Z prawa Ohma: $U_C=I_m X_C,$ $U_L=I_m X_L,$ $U_R=I_m R.$

Ponieważ w obwodzie szeregowym przez wszystkie jego elementy płynie prąd o jednakowym natężeniu, możemy wykonać diagram bardzo podobny jak dla fazorów napięcia.

Aby określić wartość oporu całkowitego Z, korzystamy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego, zapisując twierdzenie Pitagorasa.

$Z^2=R^2+(X_C-X_L)^2$

Albo:

$Z^2=R^2+(X_L-X_C)^2 .$

Różnica między wyrażeniami polega na tym, czy natężenie prądu poprzedza napięcie, czy też jest na odwrót. Nie ma to jednak wpływu na wartość Z.

Po podstawieniu wyrażeń na opór indukcyjny i pojemnościowy otrzymamy ostatecznie:

$Z= \sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}= \sqrt{R^2+( \omega L- \frac{1}{\omega C})^2}$
Obliczenie wartości amplitudy natężenia prądu
Wzór na opór całkowity Z z prawa Ohma:

$Z=\frac{U_m}{I_m}=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$

Mamy określić amplitudę natężenia prądu I_m. Z powyższego wzoru otrzymujemy:

$I_m=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}}$
Określenie przesunięcia fazowego z diagramu

Przesunięcie fazowe na podstawie diagramu określimy jako: $\mathrm{tg} {\varphi} = \frac{U_L-U_C}{U_R} =\frac{I_m\omega L- \frac{I_m}{(\omega C)}}{I_mR}=\frac{\omega L-\frac{1}{(\omega C)}}{R}= \frac{X_L-X_C}{R}$

Niekiedy przy kreśleniu diagramu i określaniu przesunięcia fazowego zamiast wzoru

$\mathrm{tg} {\varphi} = \frac{U_L-U_C}{U_R}= \frac{X_L-X_C}{R}$

stosujemy

$\mathrm{tg} {\varphi} = \frac{U_C-U_L}{U_R}= \frac{X_C-X_L}{R}$

W pierwszym przypadku napięcie poprzedza natężenie, w drugim jest odwrotnie.
Rozwiązanie liczbowe
Amplituda natężenia prądu:

$I_m= \frac{U_m}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}}=$

$= \frac{25}{\sqrt {50^2+(2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot {0{,}3} - \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot {50} \cdot {15} \cdot {10^{-6}}})^2}}\,\mathrm{A} \,\dot{=}\, 0{,}2\,\mathrm{A}$

Przesunięcie fazowe możemy obliczyć znając opory:

$\mathrm{tg} {\varphi} = \frac{ \omega L- \frac{1}{ \omega C}}{R} = \frac{ 2 \cdot \pi \cdot {50} \cdot {0{,}3}- \frac{1}{ 2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot {15} \cdot {10^{-6}} }}{50} \,\dot{=}\,-2{,}4$

Możemy też je określić na podstawie wartości napięć na poszczególnych elementach obwodu:

Napięcia na poszczególnych elementach obwodu wynoszą:

$U_R=I_mR\,\dot{=}\,0{,}2 \cdot {50}\,{\mathrm{V}}=10\,\mathrm{V}$

$U_L=I_m \omega L\,\dot{=}\, 0{,}2 \cdot{ 2} \cdot {\pi }\cdot {50} \cdot {0{,}3}\,\mathrm{V}\,\dot{=}\, 18{,}85\,\mathrm{V}$

$U_C=\frac{I_m}{\omega C}\,\dot{=}\,\frac{0{,}2}{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot {15} \cdot {10^{-6}}}\,\mathrm{V}\,\dot{=}\, 42{,}44\,\mathrm{V}$

Z diagramu fazowego określmy wartość przesunięcia fazowego:

$\mathrm{tg} {\varphi}=\frac{U_L-U_C}{U_R}\,\dot{=} \,\frac{18{,}85-42{,}44}{10}\,\dot{=}\, -2{,}4$

Obydwie metody dają ten sam wynik:

$\varphi \,\dot{=}\, -67°$

Znak minus oznacza, że napięcie opóźnia się w stosunku do natężenia.
Odpowiedź
Amplituda prądu w rozważanym obwodzie RLC ma przybliżoną wartość:
I_m = 0,2 A.

Między napięciem i natężeniem występuje przesunięcie fazowe:
φ = -67°.

Ze znaku otrzymanej wartości wnioskujemy, że napięcie opóźnia się w stosunku do natężenia o 67°.