Moc prądu zmiennego
Kod zadania: 1010
Energia elektryczna jest przekazywana z elektrowni do punktu odbiorczego znajdującego się w mieście przez zdalne zasilanie o oporze 0,2 Ω. Moc prądu elektrycznego wynosi 70 kW, a napięcie, przy którym osiągana jest ta wydajność wynosi:
Zapis danych
Z zadania znamy:
Opór linii przesyłowej: R = 0,2 Ω Wydajność elektryczna: P = 70 kW = 70000 W a) Napięcie, przy którym przekazywana jest moc: Ua = 14 kV= 14000 V b) Napięcie, przy którym przekazywana jest moc: Ub = 140 V Chcemy uzyskać:
a) Strata wydajności: PZa = ? (W) b) Strata wydajności: PZb = ? (W) Jakie napięcie jest opłacalne przy przenoszeniu prądu elektrycznego na duże odległości?Podpowiedź
Pomyśl, że zadane napięcie jest napięciem „źródła”. Linie energetyczne przenoszą to napięcie do punktu odbiorczego.
Podpowiedź - strata mocy
Utracona moc to moc, która podczas "podróży z elektrowni do urządzenia" zamieni się w ciepło Joule'a. Związane jest to z oporem przewodów, którymi płynie prąd elektryczny.
Analiza
Moc wyjściowa jest iloczynem napięcia i natężenia prądu. Zmieniając napięcie, przy którym prąd o danej mocy jest przesyłany, musimy zmienić i natężenie prądu tak, aby moc pozostała stała. Wzór na stratę energii łatwo zapisać w postaci takiej, że będzie on funkcją oporu przewodu i natężenia prądu, ponieważ nie znamy strat napięcia (= spadek napięcia na linii). Prąd ten obliczymy korzystając z mocy elektrycznej. Wzór na moc jako funkcja oporu przewodu i natężenia prądu może być użyty, ponieważ indukcja i pojemność będą miały małą wartość w porównaniu z oporem drutu.
Rozwiązanie
Moc prądu elektrycznego możemy wyrazić jako:
\[P=UI.\]
Prąd płynący z elektrowni jest taki sam jak płynący w przewodach. Stratę mocy w przewodach wyrazimy jako:
\[P_Z=U_Z I.\]
Nie znamy straty napięcia, ale pomoże nam w tym prawo Ohma, które możemy zapisać jako:
\[U_Z=R\,I,\]
gdzie R jest oporem przewodu.
Podstawmy do wzoru na stratę mocy, otrzymamy wówczas:
\[P_Z=RI^2.\]
Wyraźmy natężenie prądu przy pomocy jego mocy, dostaniemy wyrażenie na stratę mocy:
\[P_Z=R\,\frac{P^2}{U^2}\,.\]a) Otrzymamy:
\[P_{Za}=R\,\frac{P^2}{(U_a)^2}=0{,}2\cdot\frac{70000^2}{14000^2}\,\mathrm W=5\,\mathrm W.\]b) Otrzymamy:
\[P_{Zb}=R\,\frac{P^2}{(U_b)^2}=0{,}2\cdot\frac{70000^2}{140^2}\,\mathrm W=50\,\mathrm {kW}.\]Odpowiedź
Strata mocy przy przenoszonym napięciu 14 kV, wynosi 5 W. Przy przenoszonym napięciu 140 V strata mocy wynosi 50 kW.
Na podstawie wyników wnioskujemy, że prąd powinien być przesyłany liniami wysokiego napięcia, aby zmniejszyć straty linii zasilającej.
