Moc prądu zmiennego

Kod zadania: 1010

Energia elektryczna jest przekazywana z elektrowni do punktu odbiorczego znajdującego się w mieście przez zdalne zasilanie o oporze 0,2 Ω. Moc prądu elektrycznego wynosi 70 kW, a napięcie, przy którym osiągana jest ta wydajność wynosi:

a) 14 kV
b) 140 V
Określić straty mocy w obu przypadkach. Na podstawie wyników uzasadnić, jakie napięcie przy przesyłaniu prądu na duże odległości jest lepsze.

  • Zapis danych

    Z zadania znamy:

    Opór linii przesyłowej:R = 0,2 Ω
    Wydajność elektryczna:P = 70 kW = 70000 W
    a) Napięcie, przy którym przekazywana jest moc:  Ua = 14 kV= 14000 V
    b) Napięcie, przy którym przekazywana jest moc:  Ub = 140 V

    Chcemy uzyskać:

    a) Strata wydajności:PZa = ? (W)
    b) Strata wydajności:PZb = ? (W)
    Jakie napięcie jest opłacalne przy przenoszeniu prądu elektrycznego na duże odległości?

  • Podpowiedź

    Pomyśl, że zadane napięcie jest napięciem „źródła”. Linie energetyczne przenoszą to napięcie do punktu odbiorczego.

  • Podpowiedź - strata mocy

    Utracona moc to moc, która podczas "podróży z elektrowni do urządzenia" zamieni się w ciepło Joule'a. Związane jest to z oporem przewodów, którymi płynie prąd elektryczny.

  • Analiza

    Moc wyjściowa jest iloczynem napięcia i natężenia prądu. Zmieniając napięcie, przy którym prąd o danej mocy jest przesyłany, musimy zmienić i natężenie prądu tak, aby moc pozostała stała. Wzór na stratę energii łatwo zapisać w postaci takiej, że będzie on funkcją oporu przewodu i natężenia prądu, ponieważ nie znamy strat napięcia (= spadek napięcia na linii). Prąd ten obliczymy korzystając z mocy elektrycznej. Wzór na moc jako funkcja oporu przewodu i natężenia prądu może być użyty, ponieważ indukcja i pojemność będą miały małą wartość w porównaniu z oporem drutu.

  • Rozwiązanie

    Moc prądu elektrycznego możemy wyrazić jako:

    \[P=UI.\]

    Prąd płynący z elektrowni jest taki sam jak płynący w przewodach. Stratę mocy w przewodach wyrazimy jako:

    \[P_Z=U_Z I.\]

    Nie znamy straty napięcia, ale pomoże nam w tym prawo Ohma, które możemy zapisać jako:

    \[U_Z=R\,I,\]

    gdzie R jest oporem przewodu.

    Podstawmy do wzoru na stratę mocy, otrzymamy wówczas:

    \[P_Z=RI^2.\]

    Wyraźmy natężenie prądu przy pomocy jego mocy, dostaniemy wyrażenie na stratę mocy:

    \[P_Z=R\,\frac{P^2}{U^2}\,.\]

     

    a) Otrzymamy:

    \[P_{Za}=R\,\frac{P^2}{(U_a)^2}=0{,}2\cdot\frac{70000^2}{14000^2}\,\mathrm W=5\,\mathrm W.\]

    b) Otrzymamy:

    \[P_{Zb}=R\,\frac{P^2}{(U_b)^2}=0{,}2\cdot\frac{70000^2}{140^2}\,\mathrm W=50\,\mathrm {kW}.\]

  • Odpowiedź

    Strata mocy przy przenoszonym napięciu 14 kV, wynosi 5 W. Przy przenoszonym napięciu 140 V strata mocy wynosi 50 kW.

    Na podstawie wyników wnioskujemy, że prąd powinien być przesyłany liniami wysokiego napięcia, aby zmniejszyć straty linii zasilającej.

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna