Chwilowe wartości napięcia i natężenia prądu w szeregowym obwodzie prądu przemiennego RLC

Kod zadania: 1008

Opornik o oporze 90 Ω, cewkę o indukcyjności 1,3 H i kondensator o pojemności 10 μF połączono szeregowo w obwód prądu przemiennego. Jest on podłączony do napięcia zmiennego o amplitudzie 100 V i częstotliwości 50 Hz. Napisz równania na chwilowe wartości napięcia i natężenia prądu płynącego w obwodzie, jeżeli początkowa faza natężenia prądu wynosi zero.

schéma zapojení
  • Zapis danych

    Z treści zadania wypiszemy wartości, które znamy:

    amplituda napięcia zmiennego w obwodzie     Um = 100 V
    częstotliwość prądu przemiennego    f  = 50 Hz
    opór opornika R = 90 Ω
    indukcyjność cewki L = 1,3 H
    pojemność kondensatora C = 10 μF
    początkowa faza prądu φ0i = 0

    Wartości, które chcemy znaleźć:

    chwilowa wartość natężenia prądu  i(t) = ? (A)
    chwilowa wartość napięcia  u(t) = ? (V)

  • Podpowiedź 1

    Napięcie prądu przemiennego można opisać za pomocą funkcji sinus. Znajdź równanie opisujące chwilową wartość napięcia prądu przemiennego.

  • Podpowiedź 2

    Aby obliczyć amplitudy równań musimy znać aktualną (początkową) wartość \(I_m\) i przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem prądu a natężeniem φ0. Skorzystamy z prawa Ohma dla prądu zmienego. Objaśnimy rolę szeregowego obwodu RLC, zamieścimy szczegółowe wyjaśnienie obliczeń i pochodzenie obecnego przesunięcia fazowego.

  • Amplituda natężenia prądu Im

    Stosujemy prawo Ohma dla obwodu prądu zmiennego i podstawiamy wartości:

    \[I_m=\frac{U_m}{Z}=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}}=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+(2 \pi f L - \frac{1}{2 \pi f C})^2}} \]

    Obliczamy:

    \[I_m=\frac{100}{\sqrt{90^2+(2 \cdot{ \pi} \cdot{ 50} \cdot {1{,}3} - \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot {50} \cdot {10} \cdot {10^{-6}}})^2}} \, \mathrm{A} \] \[I_m \,\dot{=}\, 0{,}79 \, \mathrm{A}\]
  • Przesunięcie fazowe między napięciem a natężeniem prądu φ0u

    Korzystamy za wzoru, aby wyrazić przesunięcie fazowe za pomocą impedancji każdego z elementów:

    \[ \mathrm{tg} \varphi_{0u} = \frac{X_L - X_C}{R}= \frac{\omega L- \frac{1}{ \omega C}}{R}= \frac{2 \pi f L- \frac{1}{ 2 \pi f C}}{R} \] \[\varphi_{0u} =\mathrm{arctg}(\frac{2 \pi f L- \frac{1}{ 2 \pi f C}}{R})\]

    Podstawiając wartości liczbowe dostajemy:

    \[\varphi_{0u} =\mathrm{arctg}(\frac{2 \pi f L- \frac{1}{ 2 \pi f C}}{R})=\mathrm{arctg}(\frac{2 \cdot \pi \cdot 50 \cdot{ 1{,}3} - \frac{1}{ 2 \cdot \pi \cdot {50} \cdot {10} \cdot {10^{-6}}}}{90})\] \[\varphi_{0u} \,\dot{=}\, 45 ° = \frac{\pi}{4} \]
  • Chwilowe wartości napięcia i natężenia prądu przemiennego

    Wartość chwilowego natężenia prądu:

    Fazowe przesunięcie prądu jest zerowe, amplituda prądu Im jest obliczona.

    \[ i(t)=I_m\sin(\omega t + \varphi_{0i})=I_m\sin( 2 \pi f t + \varphi_{0i} ) \]

    \[ i(t)\,\dot {=}\,0{,}79 \cdot \sin(2 \pi 50 t)\,\mathrm A =0{,}79 \cdot \sin(100 \pi t)\,\mathrm A\]

     

    Wartość chwilowego napięcia prądu:

    Amplitudę napięcia Um znamy, przesunięcie fazowe obliczyliśmy.

    \[ u(t)=U_m \sin(\omega t + \varphi_{0u})=U_m \ sin( 2 \pi f t + \varphi_{0u} ) \]

    \[u(t)\,\dot {=}\,100 \cdot \sin( 2 \pi 50 t + \frac{\pi}{4} )\,\mathrm V = 100\cdot \ sin( 100 \pi t + \frac{\pi}{4} )\,\mathrm V\]

     

    Do powyższej relacji podstawiamy czas wyrażony w sekundach.

  • Odpowiedź

    Równania chwilowych wartości napięcia i natężenia prądu przemiennego w obwodzie RLC:

    \[ i(t)=0{,}79 \cdot \sin(100 \pi t)\,\mathrm A\]

    \[u(t)=100 \cdot \sin( 100 \pi t + \frac{\pi}{4} )\,\mathrm V \]

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)