Przewód z prądem w polu magnetycznym
Kod zadania: 538
Przewód o długości 5 cm i masie 50 g jest zawieszony na dwóch cienkich przewodach. Jeśli przez przewód przepływa prąd o natężeniu 10 A, wychyla się z pionu w jednorodnym polu magnetycznym o kąt 14°. Wyprowadź wyrażenie opisujące pole magnetyczne.
Podpowiedź
Zastanów się, jakie siły działają na przewód z prądem umieszczony w polu magnetycznym. Narysuj je (dla jednego ciała) i wyznacz siłę wypadkową.
Analiza
Po pierwsze trzeba zastanowić się nad siłami działającymi na przewód z prądem. Na przewód umieszczony w polu magnetycznym działa siła magnetyczna. Jej kierunek i zwrot można wyznaczyć z reguły lewej dłoni, siła działa w prawo. Poza tym na przewód działa siła ciężkości skierowana pionowo w dół. Suma tych sił daje siłę wypadkową działającą na przewód (spójrz na rysunek), która równoważy siły pochodzące od dwóch cienkich przewodów, na których jest zawieszony właściwy przewód. Suma ta musi wskazywać na kierunek wychylenia przewodników.
Korzystając z trójkąta z kątem α i funkcji tangens możemy wyznaczyć zależność między siłą magnetyczną a siłą ciężkości i dzięki temu obliczyć wartość siły magnetycznej.
Ostatecznie możemy wywnioskować wartość indukcji magnetycznej, korzystając z wartości siły magnetycznej.
Reguła lewej dłoni (reguła Fleminga)
Jeśli do wnętrza lewej dłoni skierowane jest pole magnetyczne, a palce wskazują kierunek przepływu prądu, to odchylony o 90° kciuk pokazuje kierunek i zwrot działającej siły.
Rozwiązanie
Na przewód działają dwie siły – siła ciężkości \(\vec{F}_G\) i siła magnetyczna \(\vec{F}_m\), które chcemy wyznaczyć.
Korzystając z trójkąta prostokątnego z kątem α i funkcji tangens wyznaczymy relację między nimi:
\[\mathrm{tg}{\alpha}=\frac{F_m}{F_G}\]Wyznaczamy siłę magnetyczną:
\[F_m=F_G \mathrm{tg}{\alpha}\tag{1}\]Wartość siły magnetycznej działającej na przewód prostoliniowy jest wprost proporcjonalna do natężenia prądu I płynącego przez przewód, długości przewodu znajdującego się w polu magnetycznym oraz indukcji pola magnetycznego:
\[F_m=BIl\sin{\beta},\]gdzie β jest kątem między przewodem a polem magnetycznym. W naszym przypadku (spójrz na rysunek):
\[\beta=90°\hspace{4px}\Rightarrow\hspace{4px}\sin{\beta} =1\]Podstawiamy do wzoru (1) siłę Fm
\[BIl\sin{\beta} = F_G \mathrm{tg}{\alpha}\]Z powyższego równania wyznaczamy wartość indukcji pola magnetycznego B:
\[B=\frac{F_G \mathrm{tg}{\alpha}}{Il}\]Na końcu uwzględniamy, że FG = mg
\[B=\frac{mg \mathrm{tg}{\alpha}}{Il}\]Obliczenia
\[l\,=\,5\,\mathrm{cm}=\,0{,}05\,\mathrm{m}\] \[m\,=\,50\,\mathrm{g}=\,0{,}05\,\mathrm{kg}\] \[I\,=\,10\,\mathrm{A}\] \[\alpha\,=\,14°\] \[g\,=\,10\,\mathrm{ms}^{-2}\] \[B\,=\,?\]
\[B\,=\,\frac{mg\mathrm{tg}{\alpha}}{Il}\,=\,\frac{0{,}05\cdot{10}\cdot {\mathrm{tg}14°}}{10\cdot{0{,}05}}\,\mathrm{T}\ = 0{,}25\,\mathrm{T}\]Odpowiedź
Wyrażenie na indukcję pola magnetycznego ma postać:
\[B=\frac{mg\mathrm{tg}{\alpha}}{Il}\]a jej wartość wynosi
\[B\ = 0{,}25\,\mathrm{T}.\]
