Dwie kulki zawieszone na nici

Kod zadania: 734

Dwie małe kulki o masach 0,5 g, zawieszone są w jednym punkcie na nici o długości 1m. Po naelektryzowaniu, kulki odsunęły się od siebie na odległość 4 cm. Jak duży ładunek znajduje się na kulach?
  • Podpowiedź

    Jakie siły działają na kulki i jaki jest ich zwrot? Spróbuj narysować działające siły.
  • Rozkład sił działających na kulki

    Popis obrázku
  • Analiza

    Na każdą kulkę zawieszoną na nici działa siła grawitacji oraz siła naciągu nici. Nasze kulki są naładowane (naelektryzowane) działa więc na nie także odpychająca siła elektrostatyczna. Obie kulki są w stanie spoczynku, ponieważ wypadkowa wszystkich trzech sił musi być równa zero. Wypadkowa wartość siły grawitacji i oddziaływania elektrostatycznego jest co do wartości równa sile naciągu nici, ale ma przeciwny do niej zwrot. Na zdjęciu można znaleźć dwa trójkąty podobne (zielony i fioletowy). Z podobieństwa obu trójkątów można wyznaczyć nieznaną wartość siły elektrycznej i ładunek kulek.
    Popis obrázku
  • Rozwiązanie

    Na każdą kulkę zawieszoną na nici działa siła grawitacji \( \vec{F}_G\) i siła naciągu włókna \( \vec{F}_t\). Ponieważ kulki naładowane są tym samym ładunkiem (o tym samym znaku), musi pojawić się dodatkowa siła odpychania elektrostatycznego \( \vec{F}_e\).

    Wartość siły oddziaływania elektrostatycznego można określić na podstawie prawa Coulomba:

    \[F_e \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2}.\]

    Obie kulki są naładowane jednakowym ładunkiem Q, możemy więc zapisać: \[F_e \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}.\]

    Ponieważ kule są w spoczynku wypadkowa wszystkich trzech sił musi być równa zero.

    Wypadkowa sił \(\vec{F}_e+\vec{F}_G\) przeciwdziałać sile naciągu włókna \(\vec{F}_t\). Dzięki temu zaznaczone na zielono i fioletowo trójkąty są do siebie podobne. Z "fioletowego trójkąta" otrzymujemy tg α.

    \[\mathrm{tg}\,{\alpha}\,=\,\frac{F_e}{F_G}\,=\,\frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}}{mg}\,=\,\frac{Q^2}{4 \pi\varepsilon_0mgr^2}\]

    Kąt α znajdziemy także w "zielonym trójkącie". Wyraźmy ponownie ten kąt.

    \[\mathrm{tg}\,{\alpha}\,=\,\frac{\frac{r}{2}}{v}\,=\,\frac{r}{2v}\]

    Długość v w "zielonym trójkącie" obliczamy z Twierdzenia Pitagorasa: \(v\,=\,\sqrt{ l^2-(\frac{r}{2})^2}\) i podstawiamy

    \[\mathrm{tg}{\alpha}\,=\,\frac{r}{2 \sqrt{ l^2-(\frac{r}{2})^2} }\,=\,\frac{r}{ \sqrt{ 4l^2-r^2} }.\]

    Przyrównujemy oba równania na tangens kąta α

    \[\frac{Q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mgr^2}\,=\,\frac{r}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } \]

    i wyznaczmamy z niego nieznaną wartość ładunku Q:

    \[Q^2\,=\,\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } \] \[Q\,=\,\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } }.\]
  • Wartości liczbowe

    \[m\,=\,0{,}5\,\mathrm{g}\,=\,5\cdot {10^{-4}}\,\mathrm{kg}\] \[l\,=\,1\,\mathrm{m}\] \[r\,=\,4\,\mathrm{cm}\,=\,4\cdot {10^{-2}}\,\mathrm{m}\] \[Q\,=\,?\,\left(\mathrm{C}\right)\]

    Stałe odczytujemy z tablic fizycznych:

    \[\varepsilon_0\,=\,8{,}85\cdot {10^{-12}}\,\mathrm{ C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}\] \[g\,=\,9{,}8\,\mathrm{ m\,s^{-2}}\]
    \[Q\,=\,\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } }\] \[ Q\,=\,\sqrt{\frac{4\pi \,\cdot\,8{,}85\cdot {10^{-12}}\, \cdot \,5\cdot {10^{-4}}\, \cdot\,9{,}8 \,\cdot\, \left(4 \cdot{10^{-2}}\right)^3}{ \sqrt{ 4 \cdot {1^2}-\left(4 \cdot{10^{-2}}\right)^2}}}\,\mathrm{C}\] \[Q\,\dot=\,4{,}2\cdot{10^{-9}}\,\mathrm{C}\,\dot=\,4{,}2\,\mathrm{nC} \]
  • Odpowiedź

    Każda kulka naładowana jest ładunkiem o wartości: \[Q\,=\,\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} }} \,\dot=\,4{,}2\,\mathrm{nC} \] .

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna
Multimediální encyklopedie fyziky