Ramka i przewód z prądem

Kod zadania: 732

Metalowa ramka o szerokości a = 5 cm i wysokości b = 10 cm oddala się z prędkością 4m/s od prostoliniowego przewodu, przez który płynie prąd o natężeniu 3 A. Wektor prędkości jest prostopadły do przewodu tak, jak pokazuje poniższy rysunek. Ramka w trakcie ruchu pozostaje w tej samej płaszczyźnie. Wyznacz wartość indukowanego napięcia, jeśli początkowa odległość między ramką i przewodem wynosi d = 2 cm.

pohybující se vodivá smyčka
  • Podpowiedź

    Zastanów się nad równaniem opisującym napięcie indukowane w ramce. Jaki jest strumień magnetyczny przechodzący przez ramkę?
  • Analiza

    Napięcie indukowane w ramce jest równe zmianie w jednostce czasu strumienia magnetycznego (ze znakiem minus) przechodzącego przez ramkę. Zmiana strumienia magnetycznego jest równa różnicy między początkowym i końcowym strumieniem magnetycznym. Dla zadanego przedziału czasowego dt wyraźmy początkowy i końcowy strumień objęty przez ramkę jako Φ1 i Φ2, odpowiednio, a przez Φ’ różnicę między tymi dwoma strumieniami Φ’ = Φ1 - Φ2.
  • Rysunek

    pohybující se vodivá smyčka

    UWAGA: Przemieszczenie ramki traktujemy jako nieskończenie małe. Aby rysunek był bardziej czytelny, przesunięcie pokazano jako znacznie większe.

  • Rozwiązanie

    Napięcie indukowane w ramce jest, w myśl ogólnego wzoru, równe zmianie strumienia przez powierzchnię ramki w jednostce czasu

    \[U_i=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t},\]

    gdzie dΦ jest zmianą strumienia magnetycznego w czasie dt i może być zastąpione różnicą między początkowym i końcowym strumieniem magnetycznym

    \[\mathrm{d}\Phi = \Phi_2 -\Phi_1.\]

    Strumień obejmowany przez ramkę w dwóch różnych momentach czasu odległych o dt można wyrazić jako sumę strumienia magnetycznego Φ,, który jest wspólną częścią Φ1 i Φ2, oraz zmian dΦ1 i dΦ2.

    \[\Phi_1 = \Phi^, + \mathrm{d}\Phi_{1}\] \[\Phi_2 = \Phi^, + \mathrm{d}\Phi_{2}\]

    Gdy policzymy zmianę strumienia magnetycznego dΦ (równanie 2), to wtedy strumień Φ’ zniknie. Musimy tylko wyznaczyć strumień magnetyczny dΦ1 i dΦ2. Ponieważ obszar, w którym mierzymy strumień magnetyczny, jest mały w porównaniu do długości drutu, pole magnetyczne B(r) w określonej odległości r od drutu traktujemy jako stałe. Dlatego też możemy skorzystać z ogólnego wzoru na strumień magnetyczny:

    \[\Phi =BS\cos{\alpha},\]

    gdzie α jest kątem między normalną do powierzchni i liniami pola magnetycznego. W rozważanym przypadku α = 0°, więc cos α = 1. Indukcję pola magnetycznego B można zapisać korzystając z równania opisującego indukcję pola magnetycznego wokół długiego prostoliniowego przewodu

    \[B=\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I}{d}\]

    Uwzględniamy pole powierzchni S, w którym mierzymy strumień magnetyczny. W naszym przypadku zmiany dΦ1 i dΦ2 dotyczą takiej samej zmiany powierzchni (spójrz na rysunek).

    \[S = b v dt\]

    Przekształcamy równania na Φ1 i Φ2 (używając równań 5 -7):

    \[\Phi_1 = \Phi^, + \,\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I}{d}\,b\,v\,\mathrm{d}t\] \[\Phi_2 = \Phi^, + \,\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I}{d+a}\,b\,v\,\mathrm{d}t.\]

    Równanie opisujące zmianę strumienia magnetycznego będzie miało postać [korzystamy z (2), (8), (9)]

    \[\mathrm{d}\Phi = \frac{\mu_o Ibvdt}{2\pi} (\frac{1}{d}-\frac {1}{d+a})\]

    Zapiszemy napięcie indukowane korzystając z równań (1) i (10):

    \[U_i = \frac{\mu_o Ibvdt}{2\pi dt} (\frac{1}{d}-\frac {1}{d+a}).\]

    Po matematycznych uproszczeniach otrzymujemy:

    \[U_i = \frac{\mu_o Ibv}{2\pi}\, \frac{a}{d(d+a)}.\]
  • Rozwiązanie liczbowe

    \[v=4 \,\mathrm{ms^{-1}}\] \[a = 5\,\mathrm{cm}=0{,}05 \,\mathrm{m}\] \[b=10\,\mathrm{cm}=0{,}10 \,\mathrm{m} \] \[d = 2\,\mathrm{cm}=0{,}02 \,\mathrm{m}\] \[I = 3\,\mathrm{A}\] \[U_i = \mathrm{?}\]
    \[|U_i| = \frac{\mu_o Ibv}{2\pi}\, \frac{a}{d(d+a)}= \frac{4\cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot3\cdot{0{,}1}\cdot 4}{2\pi}\,\cdot \frac{0{,}05}{0{,}02\cdot(0{,}02+0{,}05)}\,\mathrm{V}\] \[|U_i|=8{,}6\,\mathrm{\mu V}\]
  • Odpowiedź

    Wartość indukowanego napięcia wynosi 8,6 mikrowoltów.
Poziom: Poziom 4 – Poziom uniwersytecki