Filtracja zadaň?

Choose required ranks and required tasks. The table of contents will list only tasks having one of the required ranks in corresponding rankings and at least one of the required tags (overall). If you wish to filter only according to some rankings or tags, leave the other groups empty.

Poziomy

Poziom

Etykiety

General
«
«
«

Opór sześcianu

Kod zadania: 543

Znajdź opór między dwoma wierzchołkami sześcianu wykonanego z przewodnika:

a) między wierzchołkami H i B leżącymi na przekątnej sześcianu b) między wierzchołkami E i B leżącymi na przekątnej przedniej ściany c) między wierzchołkami A i B leżącymi na jednej krawędzi sześcianu
The resistance of the cube between the vertices H, B
The resistance of the cube between the vertices  E, B
The resistance of the cube between the vertices  A, B

Opór każdej krawędzi jest równy R.

  • Podpowiedź 1

    Co się dzieje, jeśli połączymy punkty o tym samym potencjale?

    Które z punktów mają taki sam potencjał?

  • Podpowiedź 2

    Narysuj obwód na płaszczyźnie łącząc punkty o tym samym potencjale.

  • Analiza

    Napięcie między opornikami jest równe różnicy potencjału między końcami oporników. Potencjał w punkcie A ma pewną podaną wartość. Nasz obwód rozgałęzia się w tym punkcie. Dzięki symetrii sześcianu wiemy, że natężenia prądu płynącego przez niektóre "oczka" (które zaczynają się w punkcie A) są takie same. Dlatego też napięcia również są takie same (ponieważ ich opór jest identyczny), a potencjał na końcach tych krawędzi jest taki sam (zmiana potencjału z punktu A jest także jednakowa).

    Możemy połączyć punkty o równym potencjale w jednym węźle, miedzy tymi punktami nie będzie przepływał żaden prąd (ten sam potencjał = to samo napięcie). Te zmiany w obwodzie nie zmienią ani wartości ani oporu zastępczego (całkowitego) obwodu.

    Znajdź punkty o tym samym potencjale i złącz je w jednym węźle. Następnie narysuj obwód na płaszczyźnie i dołącz do każdej części przewodu opornik o oporze R.

    Korzystając z reguł obliczania oporu zastępczego oporników połączonych równolegle i szeregowo wyznacz opór całkowity sześcianu.

  • Rozwiązanie części a): opór między wierzchołkami H i B leżącymi na przekątnej sześcianu

    The resistance between the vertices on the space diagonal

    W tym obwodzie krawędzie BA, BC i BF są równe, natężenie prądu jest takie samo. Ponadto punkty: A, C i F mają taki sam potencjał. Opór całego sześcianu nie zmienia się przez połączenie punktów w jeden.

    Taka sama sytuacja dotyczy punktów D, E, G.

    Połączmy punkty A, C i F w jednym węźle (D, E i F w następnym), przerysujmy obwód na płaszczyźnie i dodajmy na krawędziach oporniki, każdy o oporze R.

    The plotting of the circuit in the plane

    Opory: R1 między punktem H i punktami (DEG), R2 między punktami (ACF) i punktem B są równe oporowi trzech oporników połączonych równolegle.

    1R1=1R2=1R+1R+1R R1=R2=R3

    Opór R3 w węźle między (DEG) i (ACF) jest równy oporowi zastępczemu sześciu oporników połączonych równolegle.

    1R3=6R R3=R6

    Opory R1, R2, R3 są połączone szeregowo. Opór całkowity sześcianu między punktami H i B jest równy:

    RHB=R1+R2+R3=2R3+R6 RHB=56R.
  • Rozwiązanie części b): opór między wierzchołkami E i B leżącymi na przekątnej przedniej ściany

    The resistance between the vertices on the face diagonal

    W takim obwodzie punkty A i F (D i G) mają ten sam potencjał. Opór sześcianu nie zmienia się przez połączenie tych punktów.

    Połączmy punkty A i F (D i G) w jedno "oczko", przerysujmy obwód na płaszczyźnie i dorysujmy oporniki na każdej krawędzi. Każdy opornik ma opór R.

    The plotting of the circuit in the plane

    Połączmy każde oczko posiadające dwa oporniki R połączone równolegle w jeden o oporze R1 wówczas:

    1R1=1R+1R R1=R2.

    Uproszczony schemat obwodu:

    The simplyfied sketch of the circuit

    Korzystając z symetrii obwodu zauważmy, że nie ma żadnego prądu płynącego między punktami (AF) i (DG). Punkty (AF) i (DG) mają taki sam potencjał. Można więc pominąć ten opór w dalszych obliczeniach.

    Rozważmy każde oczko zawierające oporniki R połączone szeregowo jako opór R2:

    R2=R1+R=R2+R=32R.

    Przerysujmy obwód raz jeszcze:

    The simplyfied sketch of the circuit

    Mamy teraz obwód składający się z dwóch oporników R3 połączonych szeregowo. Każdy z oporników R3 składa się z oporników R1 i R2 połączonych równolegle.

    Pamiętając, że: R1=R2, R2=32R,

    wyznaczamy opór R3:

    1R3=1R1+1R2=R1+R2R1R2 1R3=R2+32RR232R=42R34R2=234R=83R R3=38R.

    Opór zastępczy między punktami E i B jest równy:

    REB=R3+R3=2R3=238R REB=34R.
  • Rozwiązanie części c): opór między wierzchołkami A i B leżącymi na jednej krawędzi sześcianu

    The resistance between the vertices on one edge

    W tym obwodzie punkty E i D (F i C) mają taki sam potencjał. Opór całego sześcianu nie zmienia się przez połączenie tych punktów. Połączmy punkty E i D (F i C) w jedno oczko, przerysujmy schemat na płaszczyźnie i dodajmy oporniki na krawędziach. Opór każdego z nich jest równy R.

    The plotting of the circuit in the plane

    Rozważmy każde oczko zawierające dwa oporniki połączone równolegle, połączmy je w jeden opornik o oporze R1:

    1R1=1R+1R R1=R2.

    Uproszczony schemat obwodu:

    The simplyfied sketch of the circuit

    Opór R2 między oczkami (ED) oraz (CF) jest równy:

    1R2=1R1+1(R1+R+R1) 1R2=1R2+12R2+R=2R+12R=52R R2=25R.

    Opór całego sześcianu jest równy:

    1RAB=1R+1R1+R2+R1.

    Podstawiamy R1=R2, R2=25R, aby obliczyć RAB

    1RAB=1R+12R2+25R=1R+1R+25R=1R+175R 1RAB=1R+57R=127R.

    Opór zastępczy między punktami A i B jest równy:

    RAB=712R.
  • Odpowiedź

    Całkowity opór między punktami H i B jest równy 56R.

    Całkowity opór między punktami E i B jest równy 34R.

    Całkowity opór między punktami A i B jest równy 712R.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)
Zadanie z nietypowym rozwiązaniem
Cs translation
En translation