Filtracja zadaň?
Poziomy
Etykiety
«
«
Opór sześcianu
Kod zadania: 543
Znajdź opór między dwoma wierzchołkami sześcianu wykonanego z przewodnika:
a) między wierzchołkami H i B leżącymi na przekątnej sześcianu | b) między wierzchołkami E i B leżącymi na przekątnej przedniej ściany | c) między wierzchołkami A i B leżącymi na jednej krawędzi sześcianu |
Opór każdej krawędzi jest równy R.
Podpowiedź 1
Co się dzieje, jeśli połączymy punkty o tym samym potencjale?
Które z punktów mają taki sam potencjał?
Podpowiedź 2
Narysuj obwód na płaszczyźnie łącząc punkty o tym samym potencjale.
Analiza
Napięcie między opornikami jest równe różnicy potencjału między końcami oporników. Potencjał w punkcie A ma pewną podaną wartość. Nasz obwód rozgałęzia się w tym punkcie. Dzięki symetrii sześcianu wiemy, że natężenia prądu płynącego przez niektóre "oczka" (które zaczynają się w punkcie A) są takie same. Dlatego też napięcia również są takie same (ponieważ ich opór jest identyczny), a potencjał na końcach tych krawędzi jest taki sam (zmiana potencjału z punktu A jest także jednakowa).
Możemy połączyć punkty o równym potencjale w jednym węźle, miedzy tymi punktami nie będzie przepływał żaden prąd (ten sam potencjał = to samo napięcie). Te zmiany w obwodzie nie zmienią ani wartości ani oporu zastępczego (całkowitego) obwodu.
Znajdź punkty o tym samym potencjale i złącz je w jednym węźle. Następnie narysuj obwód na płaszczyźnie i dołącz do każdej części przewodu opornik o oporze R.
Korzystając z reguł obliczania oporu zastępczego oporników połączonych równolegle i szeregowo wyznacz opór całkowity sześcianu.
Rozwiązanie części a): opór między wierzchołkami H i B leżącymi na przekątnej sześcianu
W tym obwodzie krawędzie BA, BC i BF są równe, natężenie prądu jest takie samo. Ponadto punkty: A, C i F mają taki sam potencjał. Opór całego sześcianu nie zmienia się przez połączenie punktów w jeden.
Taka sama sytuacja dotyczy punktów D, E, G.
Połączmy punkty A, C i F w jednym węźle (D, E i F w następnym), przerysujmy obwód na płaszczyźnie i dodajmy na krawędziach oporniki, każdy o oporze R.
Opory: R1 między punktem H i punktami (DEG), R2 między punktami (ACF) i punktem B są równe oporowi trzech oporników połączonych równolegle.
1R1=1R2=1R+1R+1R R1=R2=R3Opór R3 w węźle między (DEG) i (ACF) jest równy oporowi zastępczemu sześciu oporników połączonych równolegle.
1R3=6R R3=R6Opory R1, R2, R3 są połączone szeregowo. Opór całkowity sześcianu między punktami H i B jest równy:
RHB=R1+R2+R3=2R3+R6 RHB=56R.Rozwiązanie części b): opór między wierzchołkami E i B leżącymi na przekątnej przedniej ściany
W takim obwodzie punkty A i F (D i G) mają ten sam potencjał. Opór sześcianu nie zmienia się przez połączenie tych punktów.
Połączmy punkty A i F (D i G) w jedno "oczko", przerysujmy obwód na płaszczyźnie i dorysujmy oporniki na każdej krawędzi. Każdy opornik ma opór R.
Połączmy każde oczko posiadające dwa oporniki R połączone równolegle w jeden o oporze R1 wówczas:
1R1=1R+1R R1=R2.Uproszczony schemat obwodu:
Korzystając z symetrii obwodu zauważmy, że nie ma żadnego prądu płynącego między punktami (AF) i (DG). Punkty (AF) i (DG) mają taki sam potencjał. Można więc pominąć ten opór w dalszych obliczeniach.
Rozważmy każde oczko zawierające oporniki R połączone szeregowo jako opór R2:
R2=R1+R=R2+R=32R.Przerysujmy obwód raz jeszcze:
Mamy teraz obwód składający się z dwóch oporników R3 połączonych szeregowo. Każdy z oporników R3 składa się z oporników R1 i R2 połączonych równolegle.
Pamiętając, że: R1=R2, R2=32R,
wyznaczamy opór R3:
1R3=1R1+1R2=R1+R2R1R2 1R3=R2+32RR2⋅32R=42R34R2=234R=83R R3=38R.Opór zastępczy między punktami E i B jest równy:
REB=R3+R3=2R3=238R REB=34R.Rozwiązanie części c): opór między wierzchołkami A i B leżącymi na jednej krawędzi sześcianu
W tym obwodzie punkty E i D (F i C) mają taki sam potencjał. Opór całego sześcianu nie zmienia się przez połączenie tych punktów. Połączmy punkty E i D (F i C) w jedno oczko, przerysujmy schemat na płaszczyźnie i dodajmy oporniki na krawędziach. Opór każdego z nich jest równy R.
Rozważmy każde oczko zawierające dwa oporniki połączone równolegle, połączmy je w jeden opornik o oporze R1:
1R1=1R+1R R1=R2.Uproszczony schemat obwodu:
Opór R2 między oczkami (ED) oraz (CF) jest równy:
1R2=1R1+1(R1+R+R1) 1R2=1R2+12R2+R=2R+12R=52R R2=25R.Opór całego sześcianu jest równy:
1RAB=1R+1R1+R2+R1.Podstawiamy R1=R2, R2=25R, aby obliczyć RAB
1RAB=1R+12R2+25R=1R+1R+25R=1R+175R 1RAB=1R+57R=127R.Opór zastępczy między punktami A i B jest równy:
RAB=712R.Odpowiedź
Całkowity opór między punktami H i B jest równy 56R.
Całkowity opór między punktami E i B jest równy 34R.
Całkowity opór między punktami A i B jest równy 712R.