Generator napięcia przemiennego (sinusoidalnego natychmiastowego)

Kod zadania: 1009

Generator napięcia zmiennego u(t) = 25sin(377t) jest połączony z cewką o indukcyjności  12,7 H.

a) Jaka jest maksymalna wartość natężenia prądu?
b) Jakie napięcie wytwarza generator, gdy natężenie prądu osiąga maksymalną wartość?
c) Jakie jest natężenie prądu w chwili gdy napięcie wynosi  12,5 V a potem spada?

Uwaga: W równaniu napięcia chwilowego nie piszemy jednostki. Bierzemy jednostki podstawowe tzn. podstawiamy czas w sekundach itd.

  • Zapis danych

    Dane:

    Chwilowe napięcie generatora:  u(t) = 25sin(377t)
    Indukcyjność cewki: L = 12,7 H

    Szukane:

    a) Amplituda prądu:Im = ? (A)
    b) Napięcie, w chwili gdy prąd jest maksymalny:Ub = ? (V)
    c) Natężenie prądu przy napięciu Uc = 12,5 V:   Ic = ? (A)

  • Podpowiedź 1

    Zastanów się, jakie wielkości fizyczne we wzorze na napięcie chwilowe są wyrażone wartościami liczbowymi.

  • Podpowiedź 2

    W celu obliczenia maksymalnej wartości prądu, amplitudy prądu, skorzystaj z prawa Ohma dla prądu zmiennego.

  • Podpowiedź 3

    Jakie jest przesunięcie fazowe napięcia prądu, jeżeli w obwodzie znajduje się cewka?

  • Analiza

    Zadanie jest podzielone na trzy części, które będziemy stopniowo rozwiązywać.

     a)  Jeżeli znamy przebieg chwilowego napięcia w obwodzie, znamy także amplitudę. Amplitudę prądu (czyli maksymalne natężenie prądu) otrzymamy z prawa Ohma. Impedancję w prawie Ohma stanowi opór indukcyjny cewki, który może być wyznaczony z indukcyjności cewki znajdującej się w obwodzie.

     b) Po pierwsze należy wyznaczyć wartość chwilowego natężenia prądu w obwodzie. W układzie tym znajduje się cewka, co oznacza, że napięcie jest przesunięte w fazie o π/2. Następnie określamy czas, w którym natężenie prądu osiąga maksymalną wartość. Zastępujemy czas we wzorze na napięcie chwilowe.

     c) Postępowanie w tym zadaniu będzie podobne do tego w p-cie b). Chwilowy czas t, w którym napięcie wynosi 12,5 V. Ze względu na funkcję sinus otrzymamy kilka czasów, którym odpowiada ta sama wartość napięcia.

  • Analiza wzoru do opisu chwilowego napięcia

    Porównując ogólny wzór na wartość chwilowego napięcia z napięciem podanym w treści zadania:

    \[u(t)=U_m\sin(\omega t+ {\varphi}_{0u})=25\sin(377t)\]

    widzimy, że:

    \[U_m=25\,\mathrm V\]

    \[\omega=377\,\mathrm s^{-1}\]

  • Rozwiązanie 1

    Zastosujmy prawo Ohma

    \[I_m=\frac{U_m}{Z}\]

    Za opór podstawmy opór indukcyjny cewki:

    \[I_m=\frac{U_m}{Z}=\frac{U_m}{X_L}=\frac{U_m}{\omega L}\]

    Podstawiając wartości otrzymamy:

    \[I_m=\frac{25}{377 \cdot{ 12{,}7}}\,\mathrm A\,\dot{=}\,5{,}2 \,\mathrm {mA}\]
  • Rozwiązanie 2

    Napiszmy równanie na chwilową wartość natężenia prądu. Amplitudę prądu obliczono w p-cie a). Przesunięcie fazowe między natężeniem prądu a napięciem wynosi – π/2, ponieważ w obwodzie jest cewka.

    \[i(t)=I_m \sin(\omega t + {\varphi}_{0i})=5{,}2 {\cdot} 10^{-3}\sin(377t- \frac{\pi}{2})\]

    Chcemy znaleźć czas, w którym natężenie prądu jest maksymalne i(t) = Im:

    \[i(t)=I_m\sin(377t-\frac{\pi}{2})\]

    \[I_m=I_m\sin(377t-\frac{\pi}{2})\]

    \[1=\sin(377t-\frac{\pi}{2})\]

    \[\frac{\pi}{2}=377t-\frac{\pi}{2}\]

    \[t=\frac{\pi}{377}\,\mathrm s\]

    Napięcie przy maksymalnym natężeniu prądu otrzymamy podstawiając czas do wzoru na napięcie chwilowe:

    \[U_b=25\sin(377t)=25\sin(377 \cdot \frac{\pi}{377})\mathrm V=25\sin(\pi)\,\mathrm V=0\,\mathrm V\]

    Zerową wartość napięcia przy maksymalnym natężeniu prądu możemy przewidzieć bez liczenia, ponieważ chwilowe wartości napięcia i natężenia prądu opisuje funkcja sinus. Obecność w obwodzie cewki spowoduje przesunięcie o π/2, więc jeśli jedna z sinusoid będzie miała maksimum, wówczas druga przyjmie minimum. Zobacz rysunek w dalszej części zadania.

  • Rozwiązanie 3

    Chcemy wyznaczyć wartość natężenia prądu przy napięciu Uc = 12,5 V.

    \[U_c=25\sin(377t)\]

    \[12{,}5=25\sin(377t)\]

    \[\sin(377t)=\frac{1}{2}\]

    Zadanie rozwiążemy dla pierwszego przedziału czasu tj. dla okresu opisującej wartość chwilowego napięcia. Dla kolejnych okresów otrzymamy takie same wyniki. Uzyskujemy dwa czasy, dla których napięcia osiągają pożądaną wartość:

    \[377t= \frac{\pi}{6 }\,\mathrm s \tag{1}\]

    \[377t= \frac{5\pi}{6 }\,\mathrm s \tag{2}\]

     

    Wartości możemy zobaczyć (odczytać) na rysunku przedstawiającym zależność napięcia i natężenia prądu od czasu.

    napięcie i prąd

    Na rysunku żółtą linią zaznaczono napięcie 12,5 V.

    Wartość, której szukamy: \(377t= \frac{5\pi}{6 }\,\mathrm s \), ponieważ napięcie jeszcze bardziej spadnie.

    Podstawiając czas do wzoru na chwilową wartość prądu otrzymamy wartość prądu dla napięcia 12,5 V:

    \[I_c=5{,}2 \cdot {10^{-3}}\sin(377t- \frac{\pi}{2})=5{,}2 \cdot {10^{-3}}\sin( \frac{5\pi}{6 } - \frac{\pi}{2})\,\mathrm A=\] \[\ =5{,}2 \cdot {10^{-3}}\sin(\frac{\pi}{3})\,\mathrm A\,\dot{=}\,4{,}5\,\mathrm {mA} \]

  • Odpowiedź

    Maksymalna wartość natężenia prądu wynosi: Im = 5,2 mA.

    Przy maksymalnym natężeniu prądu jego napięcie wynosi zero: Ub = 0 V.

    Jeżeli napięcie wynosi 12,5 V i dalej będzie spadać to jego natężenie wynosi: Ic = 4,5 mA.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)