Elektrony przyspieszone w akceleratorze

Kod zadania: 1043

Elektrony o energii kinetycznej Ek opuszczają akcelerator. W odległości r od miejsca opuszczenia akceleratora znajduje się metalowa płyta ustawiona prostopadle do wiązki elektronów (patrz rysunek). Wykaż, że wiązka nie uderzy w metalową płytę, jeśli zostanie odchylona polem magnetycznym \(\vec{B}\) o indukcji

\[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{e^{2}r^{2}}},\]

gdzie m i e to odpowiednio masa i ładunek elektronu. Jaki musi być zwrot wektora indukcji pola magnetycznego?

elektrony vylétávající z trubice

Określ wartość indukcji, jeśli elektrony mają energię 5 keV, a odległość od wylotu akceleratora do płytki wynosi 5 mm.

  • Podpowiedź

    Elektron w polu magnetycznym może odchylić siła Lorentza, działająca prostopadle do kierunku ruchu.

  • Analiza

    Gdyby nie było pola magnetycznego, elektrony po opuszczeniu akceleratora poruszałyby się ruchem jednostajnym po linii prostej i uderzyły w płytkę. Jeśli chcemy im tego zabronić, musimy zmienić kierunek ich ruchu.

    Tor elektronu zakrzywimy wprowadzając pole magnetyczne. Gdy naładowana cząstka (wiązka cząstek) porusza się w polu magnetycznym, działa na nią siła Lorentza. Jeśli zadziała jako siła dośrodkowa, zakrzywi tor cząstek. Cząstki poruszać się będą po torze, który jest fragmentem okręgu.

    Wartość indukcji określimy z porównania siły Lorentza i siły dośrodkowej.

    Przy określaniu kierunku wektora indukcji magnetycznej skorzystamy z faktu, że siła Lorentza jest maksymalna, gdy wektory prędkości i indukcji są do siebie prostopadłe. Siła Lorentza działa prostopadle do płaszczyzny obu wymienionych wektorów. W naszym przypadku wektor indukcji powinien więc być prostopadły do płaszczyzny rysunku. Trzeba jeszcze określić (przy pomocy reguły Fleminga lub śruby prawoskrętnej), czy zwrot będzie przed, czy za płaszczyznę rysunku.

  • Rozwiązanie

    Zauważmy, że w polu magnetycznym o indukcji \(\vec{B}\) porusza się cząstka o ładunku e i szybkości v. Wygodnie będzie przyjąć, żeby wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do wektora prędkości, gdyż wówczas na cząstkę działa siła maksymalna \(\vec{F}_m\), a jej wartość

    \[F_m = evB.\]

    Siła Lorentza \(\vec{F}_m\) działa prostopadle do kierunku ruchu, jest więc siłą dośrodkową. Wiązka cząstek będzie się poruszać po okręgu. Na siłę dośrodkową podstawimy

    \[F_d=m\frac{v^2}{r}.\]

    Oba wzory porównujemy

    \[F_m=F_d,\] \[evB=\frac{mv^2}{r}\]

    i obliczamy wartość indukcji B

    \[B=\frac{mv}{re}.\]

    Ponieważ nie znamy prędkości elektronu v, wyznaczymy ją na podstawie energii kinetycznej Ek

    \[E_k=\frac{1}{2}mv^2\hspace{27px}\Rightarrow\hspace{27px}\ v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}.\]

    Podstawiamy do wzoru na wartość indukcji magnetycznej B

    \[B=\frac{m}{re}\sqrt{\frac{2E_k}{m}}.\]

    Po uproszczeniu otrzymujemy wyrażenie zgodne z treścią zadania

    \[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{r^2e^2}}.\]
  • Określenie zwrotu wektora indukcji magnetycznej B

    Zwrot wektora indukcji magnetycznej możemy określić przy pomocy:

    1) reguły Fleminga lewej dłoni

    Przyłóżmy do przewodnika lewą dłoń tak, aby wyprostowane palce wskazywały kierunek prądu, a linie pola magnetycznego (a więc i wektor \(\vec{B}\)) wchodziły w dłoń; wówczas odchylony kciuk wskaże zwrot wektora siły\(\vec{F}_m\), działającej na przewodnik

    Flamingovo pravidlo levé ruky

    Kierunek prądu w przewodniku to kierunek ruchu naładowanych dodatnio cząstek. W naszym przypadku mamy wiązkę elektronów, a więc cząstek o ładunku ujemnym. Będziemy więc palce lewej dłoni kierować w stronę przeciwną do kierunku ruchu elektronów. Na rysunku elektrony odchylane są do góry, taki więc zwrot musi mieć i siła Lorentza. Wektor indukcji magnetycznej będzie więc mieć zwrot przed płaszczyznę rysunku (do nas).

    elektrony vylétávající z trubice

    2) Reguła śruby prawoskrętnej

    Obracamy śrubę prawoskrętną od kierunku wektora prędkości \(\vec{v}\) do kierunku wektora indukcji magnetycznej \(\vec{B}\) (obracamy zawsze o kąt mniejszy niż \(\pi\)); zwrot ruchu śruby jest zgodny ze zwrotem działającej siły \(\vec{F}_m\). Przy ładunku ujemnym, zwrot siły \(\vec{F}_m\) jest przeciwny.

    síla působící na náboje v magnetickém poli

    Korzystając z tej reguły, otrzymujemy zwrot indukcji magnetycznej \(\vec{B}\) jak wyżej.

  • Zapis danych i obliczenia

    \(E_k=5\,\mathrm{keV}\) - elektron przyspieszany napięciem 5000V

    Do otrzymanego wyrażenia podstawiać będziemy energię w dżulach:

    \[E_k=8\cdot {10^{-16}}\,\mathrm{J}\] \[r=5\,\mathrm{mm}=5 \cdot{ 10^{-3}}\,\mathrm{m}\]

    Z tablic:

    \[m_e=9{,}1 \cdot {10^{-31}}\,\mathrm{kg}\] \[e=1{,}6\cdot {10^{-19}}\,\mathrm{C}\]
    \[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{e^{2}r^{2}}}=\sqrt{\frac{2\cdot {9{,}1}\cdot {10^{-31}}\cdot8\cdot{ 10^{-16}}}{\left(1{,}6\cdot {10^{-19}}\right)^{2}\left(5 \cdot {10^{-3}}\right)^{2}}}\,\,\,\mathrm{T}\,\dot{=}\,0{,}048\,\mathrm{T}\] \[B\,\dot{=}\,48\,\mathrm{mT}\]
  • Odpowiedź

    Pokazaliśmy, że możemy zabronić wiązce elektronów dotrzeć do płytki, jeżeli odchylimy go polem magnetycznym o wartości

    \[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{e^{2}r^{2}}}.\]

    Dla podanych wartości liczbowych indukcja pola wynosi

    \[B\,\dot{=}\,48\,\mathrm{mT}.\]

    Zwrot wektora indukcji magnetycznej - przed płaszczyznę rysunku (do nas).

  • Komentarz

    Oczywiście w celu odchylenia wiązki elektronów dopuszczalny jest dowolny zwrot wektora indukcji prostopadle do kierunku ruchu elektronów.

    W zadaniu przyjęto zgodnie z rysunkiem odchylenie w górę i stąd zwrot przed płaszczyznę rysunku. W rzeczywistości również zwrot za płaszczyznę zapewnia oczywiście podobny efekt z odchyleniem elektronów w dół.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)
Task requires extra constants