Praca, ciepło i zmiana energii wewnętrznej tlenu

Kod zadania: 1057

Początkowa objętość tlenu wynosi 5 l, a jego ciśnienie 100 kPa. Najpierw poddajemy go izobarycznemu ogrzewaniu do dwukrotnej objętości, a następnie izochorycznie zwiększamy jego ciśnienie do wartości czterokrotnie większej niż ciśnienie początkowe. Określ, jaką pracę wykonał gaz, jaką wartość ciepła mu dostarczyliśmy i jak się zmieniła jego energia wewnętrzna.

  • Zapis danych

    V1 = 5 l = 0,005 m3 początkowa objętość tlenu
    p1 = 100 kPa = 105 Pa początkowe ciśnienie tlenu
    V2 = 2V1 objętość po ogrzaniu
    p3 = 4p1 izochoryczny wzrost ciśnienia
    W = ? praca wykonana
    Q = ? dostarczone ciepło
    ΔU = ? zmiana energii wewnętrznej
  • Diagram pV

    p - V diagram
  • Podpowiedź 1 – określenie ciepła

    Do obliczenia ciepła dostarczonego w przemianie izobarycznej skorzystamy ze związku pomiędzy ciepłem Q a ciepłem molowym Cp przy stałym ciśnieniu

    \[Q=nC_p\mathrm{\Delta}T,\]

    gdzie n to liczba moli, a ΔT zmiana temperatury gazu.

     

    Do obliczenia ciepła dostarczonego w przemianie izochorycznej skorzystamy z podobnego związku między ciepłem Q a ciepłem molowym CV przy stałej objętości

    \[Q=nC_V\mathrm{\Delta}T,\]

    gdzie n to liczba moli, a ΔT zmiana temperatury gazu.

  • Podpowiedź 2 – ciepło molowe tlenu

    Ciepło molowe tlenu przy stałym ciśnieniu wynosi

    \[C_p=\frac{7}{2}R.\]

    Ciepło molowe tlenu przy stałej objętości wynosi

    \[C_V=\frac{5}{2}R.\]
  • Podpowiedź 3 – określenie zmiany temperatury

    Aby określić zmianę temperatury w przemianie izobarycznej, skorzystamy z prawa Gay-Lussaca, zaś w przemianie izochorycznej - z prawa Charlesa.

  • Rozwiązanie – ciepło dostarczone

    Całkowite ciepło dostarczone jest sumą ciepła dostarczonego w przemianie izobarycznej i ciepła dostarczonego w przemianie izochorycznej.

    Ciepło dostarczone w przemianie izobarycznej obliczymy jako iloczyn liczby moli, ciepła molowego przy stałym ciśnieniu i zmiany temperatury w przemianie. Zmianę temperatury określimy z prawa Gay-Lussaca. Skorzystamy też z równiania stanu gazu doskonałego, aby obliczyć ciepło przy pomocy zadanych wielkości.

    Analogicznie postąpimy przy określaniu ciepła dostarczonego w przemianie izochorycznej. W tym przypadku korzystać będziemy z ciepła molowego przy stałej objętości oraz prawa Charlesa.

  • Obliczenie ciepła dostarczonego

    Ponieważ dodawać będziemy ciepło dostarczane gazowi w dwóch procesach, na całkowite ciepło Q możemy zapisać wzór

    \[Q=Q_1+Q_2,\]

    gdzie Q1Q2 to odpowiednio ciepła dostarczone w przemianach izobarycznej i izochorycznej.

    Do obliczenia ciepła Q1 dostarczonego w przemianie izobarycznej skorzystamy ze związku pomiędzy ciepłem a ciepłem molowym Cp przy stałym ciśnieniu

    \[Q_1=nC_p\left(T_2-T_1\right),\]

    gdzie n jest liczbą moli, T2T1 to temperatury końcowa i początkowa gazu.

    Ponieważ tlen jest gazem dwuatomowym, jego ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

    \[C_p=\frac{7}{2}R\]

    możemy więc zapisać

    \[Q_1=\frac{7}{2}nR\left(T_2-T_1\right).\]

    Zgodnie z prawem Gay-Lussaca, jeśli dwukrotnie wzrośnie objętość, to również dwukrotnie wzrośnie temperatura, czyli T2 = 2T1. Po podstawieniu do poprzedniego wyrażenia otrzymamy

    \[Q_1=\frac{7}{2}nR\left(2T_1-T_1\right)=\frac{7}{2}nRT_1.\]

    Skorzystamy też z równania stanu gazu doskonałego

    \[p_1V_1=nRT_1 \qquad\Rightarrow\qquad nT_1=\frac{p_1V_1}{R}.\]

    Po podstawieniu mamy

    \[Q_1=\frac{7}{2}R\frac{p_1V_1}{R}=\frac{7}{2}p_1V_1.\]

     

    Na ciepło Q2 dostarczone w przemianie izochorycznej zapiszemy wzór

    \[Q_2=nC_V\left(T_3-T_2\right).\]

    Ciepło molowe przy stałej objętości dla tlenu wynosi

    \[C_V=\frac{5}{2}R\]

    a więc możemy zapisać

    \[Q_2=\frac{5}{2}nR\left(T_3-T_2\right).\]

    Zgodnie z prawem Charlesa, jeśli ciśnienie wzrośnie czterokrotnie, to i temperatura rośnie cztery razy, czyli T3 = 4T2 = 8T1.

    Po podstawieniu do poprzedniego wyrażenia

    \[Q_2=\frac{5}{2}nR\left(8T_1-2T_1\right)=15nRT_1\]

    a z równania stanu gazu doskonałego

    \[nT_1=\frac{p_1V_1}{R}\]

    otrzymamy więc na ciepło Q2 wzór

    \[Q_2=15R\frac{p_1V_1}{R}=15p_1V_1.\]

     

    Całkowite ciepło dostarczone Q wynosi

    \[Q=Q_1+Q_2=\frac{7}{2}p_1V_1+15p_1V_1,\] \[Q=\frac{37}{2}p_1V_1.\]
  • Podpowiedź 4 – określenie pracy

    Praca wykonana przez gaz w przemianie izobarycznej

    \[W=p\left(V_2-V_1\right),\]

    gdzie p jest ciśnieniem gazu, V1V2 to objętości gazu przed i po przemianie.

    W przemianie izochorycznej objętość gazu jest stała, praca nie jest wykonywana.

  • Podpowiedź 5 – zmiana energii wewnętrznej

    Do określenia zmiany energii wewnętrznej ΔU wykorzystaj 1. zasadę termodynamiki.

  • Rozwiązanie – praca wykonana i zmiana energii wewnętrznej

    Przede wszystkim zauważmy, że gaz wykonuje pracę tylko w przemianie izobarycznej. Tę pracę obliczamy jako iloczyn ciśnienia i zmiany objętości gazu w przemianie.

    Zmianę energii wewnętrznej określamy z 1. zasady termodynamiki.

  • Obliczenie pracy wykonanej i zmiany energii wewnętrznej

    Praca W wykonana przez gaz w przemianie izobarycznej

    \[W=p_1\left(V_2-V_1\right),\]

    gdzie p1 to ciśnienie gazu, V1V2 to objętość gazu przed i po przemianie.

    Po podstawieniu za objętość V2

    \[W=p_1\left(2V_1-V_1\right)\]

    otrzymamy

    \[W=p_1V_1.\]

     

    Zmianę energii wewnętrznej ΔU określamy z 1. zasady termodynamiki jako różnicę dostarczonego ciepła Q i pracy wykonanej W

    \[\Delta U=Q-W=\frac{37}{2}p_1V_1 -p_1V_1= \frac{35}{2}p_1V_1.\]
  • Rozwiązanie liczbowe

    \[Q=\frac{37}{2}p_1V_1=\frac{37}{2}\cdot0{,}005\cdot{10^5}\,\mathrm{J} = 9250 \,\mathrm{J} = 9{,}25\,\mathrm{kJ}\] \[W=p_1V_1=0{,}005\cdot{10^5}\,\mathrm{J}=500\,\mathrm{J}\] \[\Delta U=Q-W=\left(9250-500\right)\,\mathrm{J}=8750\,\mathrm{J}=8{,}75\,\mathrm{kJ}\]
  • Odpowiedź

    Gaz wykonał pracę 500 J, dostarczono mu 9,25 kJ ciepła, a przyrost jego energii wewnętrznej wynosi 8,75 kJ.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)