Rtęć w rurce
Kod zadania: 1071
Szklana rurka ma współczynnik rozszerzalności objętościowej równy 28,2·10−6 °C−1, na jednym końcu jest zamknięta, ma wszędzie ten sam promień i w temperaturze 0 °C długość 100 cm. Do rurki nalewamy rtęć o współczynniku rozszerzalności objętościowej 18·10−5 °C−1 na taką wysokość, że nie wypełniona rtęcią przestrzeń zachowuje stałą objętość przy zmianach temperatury.
Jak wysoko sięgał słupek nalanej rtęci?
Podpowiedź
Zastanów się, co się dzieje z objętością ogrzewanego ciała i jaki musi zachodzić związek między zmianami objętości rtęci i rurki, aby przy ogrzewaniu nie zmieniała się objętość przestrzeni nie wypełnionej przez rtęć.
Analiza
Przy ogrzewaniu rurki wypełnionej rtęcią rośnie zarówno objętość rurki, jak i rtęci. Ponieważ chcielibyśmy, aby nie zmieniała się objętość części rurki nie wypełnionej przez rtęć, oba przyrosty objętości muszą być jednakowe.
Szukaną wysokość, do której ma być nalana rtęć znajdziemy z porównania obu przyrostów objętości, a te z kolei wyrazimy przez prawo rozszerzalności termicznej. Uzasadnimy też, że pomiar wysokości słupka rtęci oraz wysokości rurki dzięki nie zmieniającemu się przekrojowi można uznać za miarę odpowiednich objętości.
Zapis danych
l0 = 100 cm początkowa długość rurki l1 = ? wysokość, do której nalewamy rtęć Z tablic:
β1 = 18·10−5 °C−1 współczynnik rozszerzalności objętościowej rtęci β2 = 28,2·10−6 °C−1 współczynnik rozszerzalności objętościowej szkła Rozwiązanie
Objętość rtęci przy początkowej temperaturze oznaczmy jako V1, objętość całej rurki V2. Przy wzroście temperatury o Δt objętość rtęci wzrośnie o ΔV1, którą to wartość zgodnie z prawem rozszerzalności objętościowej zapiszemy jako
\[\mathrm{\Delta} V_{1}=V_{1} \beta_{1}\mathrm{\Delta} t,\]gdzie β1 to współczynnik rozszerzalności objętościowej rtęci.
Podobnie przy ogrzewaniu wzrośnie objętość całej rurki. Dla niej z kolei zapiszemy równanie
\[\mathrm{\Delta} V_{2}=V_{2} \beta_{2}\mathrm{\Delta} t,\]gdzie β2 to współczynnik rozszerzalności objętościowej szkła.
Jeśli objętość nie wypełniona rtęcią ma być niezależna od temperatury, musimy założyć, że zmiana objętości rtęci ΔV1 równa jest zmianie objętości rurki ΔV2.
Uwzględniając powyższe, zapiszemy
\[\mathrm{\Delta} V_{1}=\mathrm{\Delta} V_{2}.\]Po podstawieniu:
\[V_{1} \beta_{1}\mathrm{\Delta} t=V_{2} \beta_{2}\mathrm{\Delta} t\]Po przekształceniu:
\[\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\]Stosunek długości słupka rtęci l1 i całej rurki l2 z uwagi na stałą powierzchnię przekroju odpowiada stosunkowi odpowiednich objętości. Możemy więc zapisać
\[\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{V_{1}}{V_{2}}.\]Po podstawieniu i przekształceniu:
\[l_{1}=l_{2}\frac{V_{1}}{V_{2}}=l_{2}\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\]Rozwiązanie liczbowe
\[l_{1}=l_{2}\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}=100\cdot \frac{28{,}2{\cdot} 10^{-6}}{18{\cdot} 10^{-5}}\,\mathrm{cm} \dot{=}16\,\mathrm{cm}\]Odpowiedź
Rtęć powinna być nalana do wysokości słupka około 16 cm.
