Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Atomy w żelaznym odważniku

Kod zadania: 1076

• Podpowiedź: liczba moli

  Ponieważ ilość atomów wyraża się ogromną liczbą, wprowadzamy w układzie SI jednostkę mol, zawierającą określoną ich ilość. Następnie określamy liczbę moli n.

  Liczba 1 mol zawiera w przybliżeniu 6,02·10²³ cząsteczek. Tę liczbę wyraża tzw. liczba Avogadro \[N_A\,\dot=\, 6{,}02 {\cdot} 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\] Liczbę moli n możemy wyrazić jako stosunek całkowitej liczby cząstek ciała N i stałej Avogadro N_A

  \[n\,=\,\frac{N}{N_A}\]

• Podpowiedź: masy

  W tablicach znajdziemy tzw. względną masę atomową A_r pierwiastka, czyli wielkość bezwymiarową, równą liczbowo masie 1 mola danej substancji w gramach. To oznacza, że masę molową M_m (= masa 1 mola cząsteczek) wyrazimy:

  \[M_m\,=\,A_r \,\cdot\, 1 \,\mathrm{\frac{g}{mol}}\,=\,A_r \,\cdot\, 10^{-3}\, \mathrm{\frac{kg}{mol}}\,.\]

  Jednocześnie względna masa atomowa to stosunek masy jednego składnika (np. atomu) m₀ i jednostki masy atomowej \[m_u\,\dot=\, 1{,}66 {\cdot} 10^{-27}\,\mathrm{kg}.\] Zatem

  \[A_r\,=\, \frac{m_0}{m_u}\hspace{20px} \hspace{20px} m_0\,=\,A_r \,m_u\,.\]

  Podwójne określenie względnej masy atomowej wynika z relacji pomiędzy stałymi m_u N_A = 10^-3 kg mol^-1 (z definicji stałych).

• Definicja i komentarz do określenia stałych

  Jednostka masy atomowej m_u jest określona jako \[\frac{1}{12}\] masy atomu węgla \[^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\] Atom ten składa się z 6 protonów, 6 neutronów i 6 elektronów. Masa elektronu jest zaniedbywalna w porównaniu z masą protonu i neutronu. Z kolei masy protonu i neutronu są prawie równe. Wynika z tego, że jednostkę masy atomowej można w przybliżeniu traktować jako masę jednego nukleonu (= protonu nebo neutronu), a względną masę atomową jako ilość nukleonów danego atomu. Widzimy więc, że masę atomu m₀ możemy określić jako iloczyn „liczby nukleonów“ i „masy jednego nukleonu“.

  Stała Avogadro N_A jest określona jako liczba atomów zawartych w 12 gramach węgla \[^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\] Z definicji obu stałych wynika związek między nimi przytoczony w poprzedniej podpowiedzi.

• a) Rozwiązanie: Liczba moli

  W tablicach znajdziemy dla żelaza: A_r = 55,845

  To oznacza, że masa molowa żelaza wynosi M_m = 55,845·10^-3 kg mol^-1.

  Liczbę moli obliczymy jako iloraz całkowitej masy ciężarka m i masy molowej M_m:

  \[n\,=\,\frac{m}{M_m}\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\,\dot=\,17{,}9\,\mathrm{mol}\]

• b) Rozwiązanie: Liczba atomów

  Liczbę atomów N w odważniku możemy określić na dwa sposoby. Możemy wykorzystać znaną liczbę moli n i stałą Avogadro N_A:

  \[ N\,=\,n N_A\,=\,\frac{m N_A}{M_m}\] \[ N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}\,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\]

  albo wykorzystać informację o masie jednej cząsteczki (z względnej masy atomowej):

  \[N\,=\,\frac{m}{m_0}\,=\,\frac{m}{A_r m_u}\] \[N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845} \,\cdot\,1{,}66\,\cdot\, 10^{-27}\,\mathrm{kg}\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\]

• c) Rozwiązanie: Liczba elektronów

  Jeden atom żelaza zawiera 26 elektronów, z tego 8 walencyjnych (2 należą do podpowłoki 4s², a 6 do podpowłoki 3d⁶).

  Całkowita liczba elektronów:

  \[N_e\,=\,26N\,.\]

  N określiliśmy w poprzednim podpunkcie \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\] .

  \[N\,=\,26\,\cdot\, 1{,}08 \,\cdot\, 10^{25}\,=\, 2{,}8\,\cdot\, 10^{26}\]

  Całkowita liczba elektronów walencyjnych:

  \[N_e\,=\,8N\,=\, 8\,\cdot\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,=\, 8{,}6\,\cdot\,10^{25}\]

• d) Rozwiązanie: Masa elektronów

  Masa jednego elektronu m_e = 9,11·10^-31 kg.

  Masa wszystkich elektronów:

  \[m_{elektronów}\,=\,N_e m_e \] \[ m_{elektronów}\,=\,2{,}8\,\cdot\, 10^{26}\,\cdot\, 9{,}11\,\cdot\,10^{-31} \,\mathrm{kg} \] \[ m_{elektronów}\,\dot=\, 2{,}6\,\cdot\, 10^{-4} \,\mathrm{kg}\,,\]

  co odpowiada 0,026 % = 0,26 ‰.

  Elektrony stanowią zaniedbywalną część masy atomu.

• e) Rozwiązanie: Objętość przypadająca na jeden atom

  Abyśmy mogli określić objętość przypadającą na jeden atom, musimy najpierw w oparciu o gęstość określić objętość całego odważnika: ρ = 7 900 kg m^-3.

  \[V\,=\,\frac{m}{\varrho}\,=\,\frac{1}{7\,900}\,\mathrm{m}^3 \] \[V\,\dot=\,1{,}27\,\cdot\,10^{-4}\,\mathrm{m}^3\]

  Objętość przypadającą na jeden atom V₀ otrzymamy dzieląc całkowitą objętość przez liczbę atomów:

  \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,\dot=\,\frac{1{,}27\,\cdot\, 10^{-4}}{1{,}08\,\cdot\, 10^{25}}\,\mathrm{m}^3 \] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\,10^{-29}\,\mathrm{m}^3\]

  Możemy też do ostatniego wzoru za N podstawić i uprościć:

  \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,=\,\frac{m}{N \varrho}\,=\,\frac{m}{\frac{m N_A}{M_m}\,\varrho}\,=\,\frac{M_m}{\varrho\,N_A}\] \[V_0\,\dot=\,\frac{55{,}845\,\cdot\, 10^{-3}}{6{,}022\,\cdot\, 10^{23}\,\cdot\,7900}\,\mathrm{m}^3\] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\, 10^{-29}\,\mathrm{m}^3\]

• f) i g) Rozwiązanie: Krawędź sześcianu i długość łańcucha

  f) Na objętość sześcianu V mamy: V = a³, gdzie a to długość jego krawędzi.

  Długość krawędzi tak pomyślanego „jednoatomowego sześcianu“ będzie:

  \[a\,=\, \sqrt[3]{V_0}\dot=\,\sqrt[3]{1{,}17\,\cdot\,10^{-29}}\,\mathrm{m}\] \[a\,\dot=\,2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\]

  g) Gdybyśmy ustawili sześciany w rzędzie jaden za drugim, długość takiego łańcucha atomów wyniosłaby:

  \[l\,=\, N_A\dot=\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,\cdot\, 2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\] \[l\,\dot=\,2{,}45\,\cdot\,10^{15}\,\mathrm{m}\]

  Długość taka odpowiada odległości jednej czwartej roku świetlnego.

• Odpowiedź

  W kilogramowym odważniku żelaznym jest 1,08·10²⁵ atomów, co odpowiada liczbie moli w przybliżeniu 17,9. Ilość wszystkich elektronów to 2,8·10²⁶, z czego 8,6·10²⁵ jest walencyjnych.

  Masa wszystkich elektronów wynosi 0,26 g, a więc elektrony stanowią niewielką część masy całego odważnika.

  Na jeden atom przypada objętość 1,17·10^-29 m³, albo sześcian o krawędzi 0,227 nm. Gdybyśmy te sześciany ustawili w rządku, długość takiego łańcucha wyniesie ok. 1/4 roku świetlnego.