Atomy w żelaznym odważniku

Kod zadania: 1076

Wyobraź sobie żelazny odważnik o masie 1 kg. Określ:

a) Jaka jest liczba moli żelaza w odważniku?

b) Ile zawiera atomów?

c) Jaka jest całkowita liczba elektronów, ile z nich jest walencyjnych?

d) Jaki procent masy ciężarka stanowią elektrony?

e) Jak duża jest objętość pojedynczego atomu?

f) Gdybyśmy wyobrazili sobie atomy jako małe sześciany poukładane obok siebie, jak duża byłaby krawędź takiego „jednoatomowego sześcianu“?

g) Jaka byłaby długość łańcuszka ułożonego z wszystkich atomów w rzędzie jeden obok drugiego? Porównaj tę długość z odległością napotykaną w życiu codziennym.

  • Podpowiedź: liczba moli

    Ponieważ ilość atomów wyraża się ogromną liczbą, wprowadzamy w układzie SI jednostkę mol, zawierającą określoną ich ilość. Następnie określamy liczbę moli n.

    Liczba 1 mol zawiera w przybliżeniu 6,02·1023 cząsteczek. Tę liczbę wyraża tzw. liczba Avogadro \[N_A\,\dot=\, 6{,}02 {\cdot} 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\] Liczbę moli n możemy wyrazić jako stosunek całkowitej liczby cząstek ciała N i stałej Avogadro NA

    \[n\,=\,\frac{N}{N_A}\]
  • Podpowiedź: masy

    W tablicach znajdziemy tzw. względną masę atomową Ar pierwiastka, czyli wielkość bezwymiarową, równą liczbowo masie 1 mola danej substancji w gramach. To oznacza, że masę molową Mm (= masa 1 mola cząsteczek) wyrazimy:

    \[M_m\,=\,A_r \,\cdot\, 1 \,\mathrm{\frac{g}{mol}}\,=\,A_r \,\cdot\, 10^{-3}\, \mathrm{\frac{kg}{mol}}\,.\]

    Jednocześnie względna masa atomowa to stosunek masy jednego składnika (np. atomu) m0 i jednostki masy atomowej \[m_u\,\dot=\, 1{,}66 {\cdot} 10^{-27}\,\mathrm{kg}.\] Zatem

    \[A_r\,=\, \frac{m_0}{m_u}\hspace{20px} \hspace{20px} m_0\,=\,A_r \,m_u\,.\]

    Podwójne określenie względnej masy atomowej wynika z relacji pomiędzy stałymi mu NA = 10-3 kg mol-1 (z definicji stałych).

  • Definicja i komentarz do określenia stałych

    Jednostka masy atomowej mu jest określona jako \[\frac{1}{12}\] masy atomu węgla \[^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\] Atom ten składa się z 6 protonów, 6 neutronów i 6 elektronów. Masa elektronu jest zaniedbywalna w porównaniu z masą protonu i neutronu. Z kolei masy protonu i neutronu są prawie równe. Wynika z tego, że jednostkę masy atomowej można w przybliżeniu traktować jako masę jednego nukleonu (= protonu nebo neutronu), a względną masę atomową jako ilość nukleonów danego atomu. Widzimy więc, że masę atomu m0 możemy określić jako iloczyn „liczby nukleonów“ i „masy jednego nukleonu“.

    Stała Avogadro NA jest określona jako liczba atomów zawartych w 12 gramach węgla \[^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\] Z definicji obu stałych wynika związek między nimi przytoczony w poprzedniej podpowiedzi.

  • a) Rozwiązanie: Liczba moli

    W tablicach znajdziemy dla żelaza: Ar = 55,845

    To oznacza, że masa molowa żelaza wynosi Mm = 55,845·10-3 kg mol-1.

    Liczbę moli obliczymy jako iloraz całkowitej masy ciężarka m i masy molowej Mm:

    \[n\,=\,\frac{m}{M_m}\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\,\dot=\,17{,}9\,\mathrm{mol}\]
  • b) Rozwiązanie: Liczba atomów

    Liczbę atomów N w odważniku możemy określić na dwa sposoby. Możemy wykorzystać znaną liczbę moli n i stałą Avogadro NA:

    \[ N\,=\,n N_A\,=\,\frac{m N_A}{M_m}\] \[ N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}\,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\]

    albo wykorzystać informację o masie jednej cząsteczki (z względnej masy atomowej):

    \[N\,=\,\frac{m}{m_0}\,=\,\frac{m}{A_r m_u}\] \[N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845} \,\cdot\,1{,}66\,\cdot\, 10^{-27}\,\mathrm{kg}\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\]
  • c) Rozwiązanie: Liczba elektronów

    Jeden atom żelaza zawiera 26 elektronów, z tego 8 walencyjnych (2 należą do podpowłoki 4s2, a 6 do podpowłoki 3d6).

    Całkowita liczba elektronów:

    \[N_e\,=\,26N\,.\]

    N określiliśmy w poprzednim podpunkcie \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\] .

    \[N\,=\,26\,\cdot\, 1{,}08 \,\cdot\, 10^{25}\,=\, 2{,}8\,\cdot\, 10^{26}\]

    Całkowita liczba elektronów walencyjnych:

    \[N_e\,=\,8N\,=\, 8\,\cdot\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,=\, 8{,}6\,\cdot\,10^{25}\]
  • d) Rozwiązanie: Masa elektronów

    Masa jednego elektronu me = 9,11·10-31 kg.

    Masa wszystkich elektronów:

    \[m_{elektronów}\,=\,N_e m_e \] \[ m_{elektronów}\,=\,2{,}8\,\cdot\, 10^{26}\,\cdot\, 9{,}11\,\cdot\,10^{-31} \,\mathrm{kg} \] \[ m_{elektronów}\,\dot=\, 2{,}6\,\cdot\, 10^{-4} \,\mathrm{kg}\,,\]

    co odpowiada 0,026 % = 0,26 ‰.

    Elektrony stanowią zaniedbywalną część masy atomu.

  • e) Rozwiązanie: Objętość przypadająca na jeden atom

    Abyśmy mogli określić objętość przypadającą na jeden atom, musimy najpierw w oparciu o gęstość określić objętość całego odważnika: ρ = 7 900 kg m-3.

    \[V\,=\,\frac{m}{\varrho}\,=\,\frac{1}{7\,900}\,\mathrm{m}^3 \] \[V\,\dot=\,1{,}27\,\cdot\,10^{-4}\,\mathrm{m}^3\]

    Objętość przypadającą na jeden atom V0 otrzymamy dzieląc całkowitą objętość przez liczbę atomów:

    \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,\dot=\,\frac{1{,}27\,\cdot\, 10^{-4}}{1{,}08\,\cdot\, 10^{25}}\,\mathrm{m}^3 \] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\,10^{-29}\,\mathrm{m}^3\]

    Możemy też do ostatniego wzoru za N podstawić i uprościć:

    \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,=\,\frac{m}{N \varrho}\,=\,\frac{m}{\frac{m N_A}{M_m}\,\varrho}\,=\,\frac{M_m}{\varrho\,N_A}\] \[V_0\,\dot=\,\frac{55{,}845\,\cdot\, 10^{-3}}{6{,}022\,\cdot\, 10^{23}\,\cdot\,7900}\,\mathrm{m}^3\] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\, 10^{-29}\,\mathrm{m}^3\]
  • f) i g) Rozwiązanie: Krawędź sześcianu i długość łańcucha

    f) Na objętość sześcianu V mamy: V = a3, gdzie a to długość jego krawędzi.

    Długość krawędzi tak pomyślanego „jednoatomowego sześcianu“ będzie:

    \[a\,=\, \sqrt[3]{V_0}\dot=\,\sqrt[3]{1{,}17\,\cdot\,10^{-29}}\,\mathrm{m}\] \[a\,\dot=\,2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\]

    g) Gdybyśmy ustawili sześciany w rzędzie jaden za drugim, długość takiego łańcucha atomów wyniosłaby:

    \[l\,=\, N_A\dot=\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,\cdot\, 2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\] \[l\,\dot=\,2{,}45\,\cdot\,10^{15}\,\mathrm{m}\]

    Długość taka odpowiada odległości jednej czwartej roku świetlnego.

  • Odpowiedź

    W kilogramowym odważniku żelaznym jest 1,08·1025 atomów, co odpowiada liczbie moli w przybliżeniu 17,9. Ilość wszystkich elektronów to 2,8·1026, z czego 8,6·1025 jest walencyjnych.

    Masa wszystkich elektronów wynosi 0,26 g, a więc elektrony stanowią niewielką część masy całego odważnika.

    Na jeden atom przypada objętość 1,17·10-29 m3, albo sześcian o krawędzi 0,227 nm. Gdybyśmy te sześciany ustawili w rządku, długość takiego łańcucha wyniesie ok. 1/4 roku świetlnego.

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna
Task requires extra constants