Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Zatapianie drewna w benzenie

Kod zadania: 1063

• Podpowiedź

  Jaka będzie zależność między gęstością benzenu a gęstością drewna w momencie, gdy drewno zacznie tonąć?

• Rozwiązanie podpowiedzi

  Z prawa Archimedesa wynika, że drewno zacznie tonąć w chwili, gdy jego gęstość będzie większa od gęstości benzenu. Zwrócimy więc uwagę na moment, gdy obie gęstości się wyrównają.

• Analiza

  Dzięki temu, że współczynnik rozszerzalności objętościowej benzenu jest większy niż drewna, ze wzrostem temperatury gęstość benzenu spadać będzie szybciej niż gęstość drewna. W pewnej chwili obie gęstości się wyrównają, a potem drewno zacznie tonąć, bo jego gęstość przewyższy gęstość benzenu. Szukamy tej temperatury, w której obie gęstości się wyrównają.

  Będziemy postępować tak, że najpierw obie gęstości wyrazimy poprzez definicje, następnie wprowadzimy prawo rozszerzalności objętościowej i z porównania wyrażeń na gęstość określimy szukaną temperaturę.

• Zapis danych

  t0 = 0 °C	początkowa temperatura
  ρ0b = 900 kg m−3	gęstość benzenu w temperaturze t0
  βb = 12·10−4 °C−1	współczynnik rozszerzalności objętościowej benzenu
  ρ0d = 880 kg m−3	gęstość drewna w temperaturze t0
  βd = 2,2·10−5 °C−1	współczynnik rozszerzalności objętościowej drewna
  t = ?	temperatura, w której drewno zacznie tonąć

• Rozwiązanie

  Drewno zacznie tonąć w chwili, gdy jego gęstość stanie się większa od gęstości benzenu. Naszym pierwszym zadaniem jest więc znalezienie wzoru opisującego zależność gęstości drewna i benzenu od zmiany temperatury Δt. Zacznijmy od definicji gęstości ρ

  $$\rho=\frac{m}{V}.$$

  Zauważmy, że masa m nie zmienia się, a na zmianę objętości V zapiszemy prawo rozszerzalności objętościowej

  $$V=V_0(1+\beta\mathrm{\Delta}t).$$

  Będziemy więc mieli

  $$\rho_{\mathrm{b}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{b}}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}\,,$$ $$\rho_{\mathrm{d}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{\mathrm{d}}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\delta}t}\,.$$

  Teraz musimy określić, przy jakiej zmianie temperatury Δt, wyrównają się gęstości benzenu  ρ_b i drewna ρ_d

  $$\rho_b = \rho_d.$$

  Po podstawieniu z otrzymanych wyżej wyrażeń uzyskamy równość

  $$\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t}$$

  a z niej po przekształceniach określamy szukaną zmianę temperatury Δt

  $$\rho_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)=\rho_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)\,,$$ $$\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}=\mathrm{\Delta}t\left(\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}\right)\,,$$ $$\mathrm{\Delta}t=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}\,.$$

  Drewno zacznie więc tonąć przy temperaturze t = t₀ + Δt.

   

  Rozwiązanie liczbowe:

  $$t=t_0+\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}=\left(0+\frac{900-880}{880\cdot{12}\cdot{10^{-4}}-900\cdot{2{,}2}\cdot{10^{-5}}}\right){\, °}\mathrm{C}$$ $$t\,\dot{=}\,19{,}3\,^{°}\mathrm{C}$$

• Odpowiedź

  Drewno zacznie tonąć przy temperaturze wyższej od ok. 19,3 °C.