Zatapianie drewna w benzenie
Kod zadania: 1063
Benzen ma w temperaturze 0 °C gęstość 900 kg m−3 i współczynnik rozszerzalności temperaturowej 12·10−4 °C−1. W tej temperaturze na jego powierzchni unosi się kawałek drewna o gęstości 880 kg m−3. Przy jakiej temperaturze drewno zacznie tonąć, jeśli współczynnik rozszerzalności objętościowej drewna wynosi 2,2·10−5 °C−1.
Podpowiedź
Jaka będzie zależność między gęstością benzenu a gęstością drewna w momencie, gdy drewno zacznie tonąć?
Analiza
Dzięki temu, że współczynnik rozszerzalności objętościowej benzenu jest większy niż drewna, ze wzrostem temperatury gęstość benzenu spadać będzie szybciej niż gęstość drewna. W pewnej chwili obie gęstości się wyrównają, a potem drewno zacznie tonąć, bo jego gęstość przewyższy gęstość benzenu. Szukamy tej temperatury, w której obie gęstości się wyrównają.
Będziemy postępować tak, że najpierw obie gęstości wyrazimy poprzez definicje, następnie wprowadzimy prawo rozszerzalności objętościowej i z porównania wyrażeń na gęstość określimy szukaną temperaturę.
Zapis danych
t0 = 0 °C początkowa temperatura ρ0b = 900 kg m−3 gęstość benzenu w temperaturze t0 βb = 12·10−4 °C−1 współczynnik rozszerzalności objętościowej benzenu ρ0d = 880 kg m−3 gęstość drewna w temperaturze t0 βd = 2,2·10−5 °C−1 współczynnik rozszerzalności objętościowej drewna t = ? temperatura, w której drewno zacznie tonąć Rozwiązanie
Drewno zacznie tonąć w chwili, gdy jego gęstość stanie się większa od gęstości benzenu. Naszym pierwszym zadaniem jest więc znalezienie wzoru opisującego zależność gęstości drewna i benzenu od zmiany temperatury Δt. Zacznijmy od definicji gęstości ρ
\[\rho=\frac{m}{V}.\]Zauważmy, że masa m nie zmienia się, a na zmianę objętości V zapiszemy prawo rozszerzalności objętościowej
\[V=V_0(1+\beta\mathrm{\Delta}t).\]Będziemy więc mieli
\[\rho_{\mathrm{b}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{b}}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}\,,\] \[\rho_{\mathrm{d}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{\mathrm{d}}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\delta}t}\,.\]Teraz musimy określić, przy jakiej zmianie temperatury Δt, wyrównają się gęstości benzenu ρb i drewna ρd
\[\rho_b = \rho_d.\]Po podstawieniu z otrzymanych wyżej wyrażeń uzyskamy równość
\[\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t}\]a z niej po przekształceniach określamy szukaną zmianę temperatury Δt
\[\rho_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)=\rho_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)\,,\] \[\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}=\mathrm{\Delta}t\left(\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}\right)\,,\] \[\mathrm{\Delta}t=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}\,.\]Drewno zacznie więc tonąć przy temperaturze t = t0 + Δt.
Rozwiązanie liczbowe:
\[t=t_0+\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}=\left(0+\frac{900-880}{880\cdot{12}\cdot{10^{-4}}-900\cdot{2{,}2}\cdot{10^{-5}}}\right){\, °}\mathrm{C}\] \[t\,\dot{=}\,19{,}3\,^{°}\mathrm{C}\]Odpowiedź
Drewno zacznie tonąć przy temperaturze wyższej od ok. 19,3 °C.
