Zatapianie drewna w benzenie

Kod zadania: 1063

Benzen ma w temperaturze 0 °C gęstość 900 kg m−3 i współczynnik rozszerzalności temperaturowej 12·10−4 °C−1. W tej temperaturze na jego powierzchni unosi się kawałek drewna o gęstości 880 kg m−3. Przy jakiej temperaturze drewno zacznie tonąć, jeśli współczynnik rozszerzalności objętościowej drewna wynosi 2,2·10−5 °C−1.

  • Podpowiedź

    Jaka będzie zależność między gęstością benzenu a gęstością drewna w momencie, gdy drewno zacznie tonąć?

  • Analiza

    Dzięki temu, że współczynnik rozszerzalności objętościowej benzenu jest większy niż drewna, ze wzrostem temperatury gęstość benzenu spadać będzie szybciej niż gęstość drewna. W pewnej chwili obie gęstości się wyrównają, a potem drewno zacznie tonąć, bo jego gęstość przewyższy gęstość benzenu. Szukamy tej temperatury, w której obie gęstości się wyrównają.

    Będziemy postępować tak, że najpierw obie gęstości wyrazimy poprzez definicje, następnie wprowadzimy prawo rozszerzalności objętościowej i z porównania wyrażeń na gęstość określimy szukaną temperaturę.

  • Zapis danych

    t0 = 0 °C  początkowa temperatura
    ρ0b = 900 kg m−3 gęstość benzenu w temperaturze t0
    βb = 12·10−4 °C−1 współczynnik rozszerzalności objętościowej benzenu
    ρ0d = 880 kg m−3 gęstość drewna w temperaturze t0
    βd = 2,2·10−5 °C−1 współczynnik rozszerzalności objętościowej drewna
    t = ? temperatura, w której drewno zacznie tonąć
  • Rozwiązanie

    Drewno zacznie tonąć w chwili, gdy jego gęstość stanie się większa od gęstości benzenu. Naszym pierwszym zadaniem jest więc znalezienie wzoru opisującego zależność gęstości drewna i benzenu od zmiany temperatury Δt. Zacznijmy od definicji gęstości ρ

    \[\rho=\frac{m}{V}.\]

    Zauważmy, że masa m nie zmienia się, a na zmianę objętości V zapiszemy prawo rozszerzalności objętościowej

    \[V=V_0(1+\beta\mathrm{\Delta}t).\]

    Będziemy więc mieli

    \[\rho_{\mathrm{b}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{b}}}=\frac{m_{\mathrm{b}}}{V_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}\,,\] \[\rho_{\mathrm{d}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{\mathrm{d}}}=\frac{m_{\mathrm{d}}}{V_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\delta}t}\,.\]

    Teraz musimy określić, przy jakiej zmianie temperatury Δt, wyrównają się gęstości benzenu  ρb i drewna ρd

    \[\rho_b = \rho_d.\]

    Po podstawieniu z otrzymanych wyżej wyrażeń uzyskamy równość

    \[\frac{\rho_{0\mathrm{b}}}{1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t}=\frac{\rho_{0\mathrm{d}}}{1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t}\]

    a z niej po przekształceniach określamy szukaną zmianę temperatury Δt

    \[\rho_{0\mathrm{b}}\left(1+\beta_{\mathrm{d}}\mathrm{\Delta}t\right)=\rho_{0\mathrm{d}}\left(1+\beta_{\mathrm{b}}\mathrm{\Delta}t\right)\,,\] \[\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}=\mathrm{\Delta}t\left(\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}\right)\,,\] \[\mathrm{\Delta}t=\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}\,.\]

    Drewno zacznie więc tonąć przy temperaturze t = t0 + Δt.

     

    Rozwiązanie liczbowe:

    \[t=t_0+\frac{\rho_{0\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{d}}}{\rho_{0\mathrm{d}}\beta_{\mathrm{b}}-\rho_{0\mathrm{b}}\beta_{\mathrm{d}}}=\left(0+\frac{900-880}{880\cdot{12}\cdot{10^{-4}}-900\cdot{2{,}2}\cdot{10^{-5}}}\right){\, °}\mathrm{C}\] \[t\,\dot{=}\,19{,}3\,^{°}\mathrm{C}\]
  • Odpowiedź

    Drewno zacznie tonąć przy temperaturze wyższej od ok. 19,3 °C.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)