Mieszanie wody

Kod zadania: 603

Dany jest zbiornik o masie 3 kg, w którym znajduje się woda o temperaturze 10°C. Ile wody o temperaturze 90°C należy dolać, aby temperatura wody w zbiorniku wynosiła 35°C?

  • Podpowiedź

    Zastanów się, jak będzie zmieniać się temperatura wody w zależności od nowo dolanej wody ciepłej do zbiornika.

  • Analiza

    Pomijając pojemność cieplną zbiornika, ciepło oddawane przez cieplejszą wodę jest równe ciepłu pobranemu przez wodę zimniejszą.

  • Zapis danych

    m1 = 3 kg masa zimnej wody w zbiorniku;
    t1 = 10 °C temperatura wody zimnej;
    t2 = 90 °C temperatura wody gorącej;
    tv = 35 °C temperatura końcowa wody;
    m2 = ? masa wody gorącej
  • Rozwiązanie

    Wartości ciepła oddanego i pobranego spełniają równanie

    \[Q_\mathrm{oddane}=Q_\mathrm{pobrane}\,,\] \[m_{2}c_{v}\left( t_{2}-t_{v}\right) = m_{1}c_{v}\left( t_{v}-t_{1}\right),\]

    gdzie m1 - masa zimnej wody w zbiorniku, t1 jej temperatura, t2 temperatura gorącej wody, tv temperatura końcowa i m2 - nieznana masa gorącej wody.

    \[m_{2}=\frac{m_{1}\left( t_{v}-t_{1}\right)}{t_{2}-t_{v}}.\]
  • Podstawienie wartości liczbowych

    \[m_{2}=\frac{m_{1}\left( t_{v}-t_{1}\right)}{t_{2}-t_{v}}=\frac{3\cdot \left( 35-10\right)}{90-35}\, \mathrm{kg}\] \[m_{2}=1{,}4\, \mathrm{kg}\]
  • Odpowiedź

    Należy do zbiornika dolać 1,4 kg ciepłej wody.

  • Komentarz

    Widzimy, że nie trzeba znać ciepła właściwego wody. Zadanie można obliczyć za pomocą złotej zasady: im gorącej wody wleje się więcej, tym woda będzie cieplejsza. W ten sposób masa wody i różnica temperatur przed i po wymieszaniu jest odwrotna. Tak więc możemy napisać równanie:

    \[\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{t_{v} - t_{1}}{t_{2} - t_{v}},\]

    z którego można łatwo wyrazić wyszukiwaną wielkość m2.

Poziom: Poziom 1 – Gimnazjum