Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Agregat chłodniczy

Kod zadania: 1062

• Podpowiedź

  Zacznijmy od tego, że ciepło Q_pob pobrane przez wodę w zbiorniku ciepła jest róvne ilości ciepła Q_od oddanego do chłodnicy i pracy W wykonanej przy przenoszeniu ciepła z chłodnicy do zbiornika ciepła. Zachodzi więc związek

  \[Q_\mathrm{pob}=Q_\mathrm{od}+W.\]

  Zastanów się, jak możemy te nieznane wielkości określić za pomocą danych.

• Praca W

  Pracę W wykonaną przy przenoszeniu ciepła z chłodnicy do zbiornika ciepła wyrazimy wzorem

  \[W=\eta Q_\mathrm{od}\,,\]

  gdzie η oznacza sprawność silnika, a Q_od ilość oddanego ciepła.

• Sprawność η cyklu Carnota

  Sprawność η cyklu Carnota określamy wzorem

  \[\eta = \frac{T_2-T_1}{T_1},\]

  gdzie T₁ to temperatura wody w chłodnicy, a T₂ temperatura wody w zbiorniku ciepła.

• Ciepło oddane Q_od

  Na ciepło oddane przez wodę do chłodnicy zapiszemy wzór

  \[Q_\mathrm{od}=m_1l_t,\]

  gdzie m₁ to masa wody w chłodnicy, a l_t ciepło topnienia wody.

• Ciepło pobrane Q_pob

  Na ciepło pobrane przez wyparowującą wodę zapiszemy wzór

  \[Q_\mathrm{pob}=m_2l_v,\]

  gdzie m₂ to masa wody w zbiorniku ciepła, a l_v ciepło parowania wody.

• Zapis danych

  t1 = 0 °C => T1 = 273,15 K	temperatura wody w chłodnicy
  t2 = 100 °C => T2 = 373,15 K	temperatura wody w zbiorniku ciepła
  m2 = 1 kg	masa wody w zbiorniku ciepła
  m1 = ?	masa wody w chłodnicy

  Z tablic:

  lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1	ciepło topnienia wody
  lv = 2256 kJ kg−1 = 2256·103 J kg−1	ciepło parowania wody

• Analiza

  Zacznijmy od tego, że ciepło pobrane przez wodę ze źródła ciepła równe jest sumie ciepła oddanego w chłodnicy i pracy wykonanej przy przenoszeniu ciepła z chłodnicy do żródła. Szukane wielkości wyrazimy za pomocą danych.

  Praca wykonana jest równa iloczynowi sprawności silnika Carnota i pobranego ciepła. Sprawność silnika Carnota zależy tylko od temperatur wody w chłodnicy i w źródle ciepła.

  Ciepło pobrane przez wrzącą wodę obliczymy jako iloczyn masy wody w źródle i jej ciepła parowania.

  Ciepło oddane przez wodę w chłodnicy określimy analogicznie jako iloczyn masy wody w chłodnicy i jej ciepła topnienia.

• Rozwiązanie

  Ciepło Q_pob pobrane przez wodę ze źródła jest równe sumie ciepła Q_od oddanego przez wodę w chłodnicy i pracy W wykonanej przy przenoszeniu ciepła z chłodnicy do źródła:

  \[Q_\mathrm{pob}=Q_\mathrm{od}+W.\]

  Między pracą W a wielkością odebranego ciepła Q_od zachodzi związek

  \[W=\eta Q_\mathrm{od},\]

  gdzie η to sprawność silnika. Ta z kolei dla idealnego silnika Carnota określona jest wzorem

  \[\eta = \frac{T_2-T_1}{T_1},\]

  gdzie T₁ to temperatura wody w chłodnicy, a T₂ temperatura wody w źródle ciepła.

  Po podstawieniu do wcześniejszego wzoru otrzymamy:

  \[Q_\mathrm{pob}=Q_\mathrm{od}+W= Q_\mathrm{od}+\eta Q_\mathrm{od} = \left(1+\frac{T_2-T_1}{T_1}\right)Q_\mathrm{od}\]

  a po przekształceniu

  \[Q_\mathrm{pob}= \frac{T_2}{T_1}Q_\mathrm{od}.\]

  Ciepło pobrane przez wrzącą wodę możemy wyrazić za pomocą ciepła parowania l_v vztah

  \[Q_\mathrm{pob}=m_2l_v,\]

  gdzie m₂ to masa wody w źródle ciepła.

  Na ciepło oddane zapiszemy analogicznie

  \[Q_\mathrm{od}=m_1l_t,\]

  gdzie m₁ to masa wody w chłodnicy, a l_t ciepło topnienia vody.

  Po podstawieniu

  \[m_2l_v= \frac{T_2}{T_1}m_1l_t\]

  i uproszczeniu otrzymamy szukaną masę m₁ wody w chłodnicy

  \[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}.\]

• Rozwiązanie liczbowe

  \[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}\] \[m_1= \frac{1\cdot {2256}\cdot {10^3}\cdot{273{,}15}}{373{,}15\cdot {334}\cdot {10^3}}\,\mathrm{kg}\,\dot{=}\,5\,\mathrm{kg}\]

• Odpowiedź

  W chłodnicy można zamrozić około 5 kg wody.