Agregat chłodniczy

Kod zadania: 1062

Idealny agregat chłodniczy pracuje według cyklu Carnota, przekazując ciepło chłodnicy z wodą o temperaturze 0 °C i pobierając je ze źródła ciepła (zbiornika wody) o temperaturze 100 °C. Jaką ilość wody w chłodnicy moglibyśmy zamrozić, zamieniając w zbiorniku ciepła 1 kg wody w parę o temperaturze 100 °C?

  • Podpowiedź

    Zacznijmy od tego, że ciepło Qpob pobrane przez wodę w zbiorniku ciepła jest róvne ilości ciepła Qod oddanego do chłodnicy i pracy W wykonanej przy przenoszeniu ciepła z chłodnicy do zbiornika ciepła. Zachodzi więc związek

    \[Q_\mathrm{pob}=Q_\mathrm{od}+W.\]

    Zastanów się, jak możemy te nieznane wielkości określić za pomocą danych.

  • Zapis danych

    t1 = 0 °C => T1 = 273,15 K temperatura wody w chłodnicy
    t2 = 100 °C => T2 = 373,15 K temperatura wody w zbiorniku ciepła
    m2 = 1 kg masa wody w zbiorniku ciepła
    m1 = ? masa wody w chłodnicy

    Z tablic:

    lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1 ciepło topnienia wody
    lv = 2256 kJ kg−1 = 2256·103 J kg−1 ciepło parowania wody
  • Analiza

    Zacznijmy od tego, że ciepło pobrane przez wodę ze źródła ciepła równe jest sumie ciepła oddanego w chłodnicy i pracy wykonanej przy przenoszeniu ciepła z chłodnicy do żródła. Szukane wielkości wyrazimy za pomocą danych.

    Praca wykonana jest równa iloczynowi sprawności silnika Carnota i pobranego ciepła. Sprawność silnika Carnota zależy tylko od temperatur wody w chłodnicy i w źródle ciepła.

    Ciepło pobrane przez wrzącą wodę obliczymy jako iloczyn masy wody w źródle i jej ciepła parowania.

    Ciepło oddane przez wodę w chłodnicy określimy analogicznie jako iloczyn masy wody w chłodnicy i jej ciepła topnienia.

  • Rozwiązanie

    Ciepło Qpob pobrane przez wodę ze źródła jest równe sumie ciepła Qod oddanego przez wodę w chłodnicy i pracy W wykonanej przy przenoszeniu ciepła z chłodnicy do źródła:

    \[Q_\mathrm{pob}=Q_\mathrm{od}+W.\]

    Między pracą W a wielkością odebranego ciepła Qod zachodzi związek

    \[W=\eta Q_\mathrm{od},\]

    gdzie η to sprawność silnika. Ta z kolei dla idealnego silnika Carnota określona jest wzorem

    \[\eta = \frac{T_2-T_1}{T_1},\]

    gdzie T1 to temperatura wody w chłodnicy, a T2 temperatura wody w źródle ciepła.

    Po podstawieniu do wcześniejszego wzoru otrzymamy:

    \[Q_\mathrm{pob}=Q_\mathrm{od}+W= Q_\mathrm{od}+\eta Q_\mathrm{od} = \left(1+\frac{T_2-T_1}{T_1}\right)Q_\mathrm{od}\]

    a po przekształceniu

    \[Q_\mathrm{pob}= \frac{T_2}{T_1}Q_\mathrm{od}.\]

    Ciepło pobrane przez wrzącą wodę możemy wyrazić za pomocą ciepła parowania lv vztah

    \[Q_\mathrm{pob}=m_2l_v,\]

    gdzie m2 to masa wody w źródle ciepła.

    Na ciepło oddane zapiszemy analogicznie

    \[Q_\mathrm{od}=m_1l_t,\]

    gdzie m1 to masa wody w chłodnicy, a lt ciepło topnienia vody.

    Po podstawieniu

    \[m_2l_v= \frac{T_2}{T_1}m_1l_t\]

    i uproszczeniu otrzymamy szukaną masę m1 wody w chłodnicy

    \[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}.\]
  • Rozwiązanie liczbowe

    \[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}\] \[m_1= \frac{1\cdot {2256}\cdot {10^3}\cdot{273{,}15}}{373{,}15\cdot {334}\cdot {10^3}}\,\mathrm{kg}\,\dot{=}\,5\,\mathrm{kg}\]
  • Odpowiedź

    W chłodnicy można zamrozić około 5 kg wody.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)
Task requires extra constants