Pęcherzyk powietrza w jeziorze

Kod zadania: 1074

Pęcherzyk powietrza o promieniu 5,0 mm odrywa się od dna jeziora o głębokości 20,7 m. Temperatura w pobliżu dna wynosi 7 °C, a przy powierzchni 27 °C. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 100 kPa. Jak duży będzie pęcherzyk, gdy dotrze do powierzchni?

  • Podpowiedź

    W pęcherzyku, który oderwie się od dna jeziora, nie zmieni się temperatura, jedynie ciśnienie - odpowiadać będzie ciśnieniu wody w otoczeniu.

    Określ ciśnienie w pobliżu dna i przy powierzchni.

  • Zapis danych

    h = 20,7 m głębokość jeziora
    r1 = 5,0 mm = 5,0·10-3 m promień pęcherzyka w pobliżu dna
    t1 = 7 °C => T1 = 280 K temperatura wody w pobliżu dna jeziora
    t2 = 27 °C => T1 = 300 K teperatura wody przy powierzchni
    pa = 100 kPa = 1,00·105 Pa ciśnienie atmosferyczne
    r2 = ? promień pęcherzyka przy powierzchni

    Z tablic:

    ρ = 1000 kg m-3 gęstość wody
    g = 9,81 m s-2 przyspieszenie grawitacyjne
  • Analiza

    Przy określaniu promienia pęcherzyka będziemy zakładać, że ciśnienie gazu wewnątrz pęcherzyka musi być równe ciśnieniu wody w jej otoczeniu. Wynika to z warunku równowagi na granicy powietrze-woda.

    Ciśnienie wody w otoczeniu pęcherzyka zależy od ciśnienia hydrostatycznego (a tym samym głębokości, na której jest pęcherzyk) oraz atmosferycznego, które zgodnie z prawem Pascala jest jednakowe w całej objętości jeziora. Ciśnienie gazu wewnątrz pęcherzyka obliczymy z równania stanu.

    Uwaga: W pęcherzyku znajduje się powietrze i nasycona para wodna. W tablicach fizycznych możemy sprawdzić, że ciśnienie pary nasyconej w podanej temperaturze ma wartość kilku kPa. Wobec o wiele większego ciśnienia atmosferycznego wpływ pary nasyconej na ogólne ciśnienie w pęcherzyku pominiemy.

  • Rozwiązanie

    Najpierw określmy ciśnienie wody w pobliżu dna jeziora p1, na które składa się ciśnienie atmosferyczne i hydrostatyczne

    \[ p_1\,=\,p_a\,+\,h\rho g \]

    i zauważmy, że ciśnienie przy powierzchni jeziora p2 równe jest ciśnieniu atmosferycznemu

    \[ p_2\,=\,p_a \]

    Będziemy zakładać, że powietrze we wnętrzu pęcherzyka zachowuje się jak gaz doskonały i może być opisane przez równanie stanu, tj. zachodzi

    \[ \frac{p_1V_1}{T_1}\,=\,\frac{p_2V_2}{T_2} \]

    Ciśnienie powietrza będzie takie jak ciśnienie wody w otoczeniu, a objętość określimy ze wzoru na objętość kuli \[V\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3\] Całość podstawiamy do równania stanu

    \[ \frac{\left(p_a+h\rho g\right)\frac{4}{3}\pi r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_a\frac{4}{3}\pi r_2^3}{T_2} \] \[ \frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_ar_2^3}{T_2} \]

    i określamy nieznany promień r2

    \[ r_2^3\,=\,\frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_aT_1} \] \[ r_2\,=\,\sqrt[3]{\frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_aT_1}} \]

    Podstawiamy wartości liczbowe

    \[ r_2\,=\,5{\cdot} 10^{-3}\cdot \sqrt[3]{\frac{\left(10^5{\cdot} 20{,}7{\cdot} 1000\cdot 9{,}81\right)\cdot 300}{10^5{\cdot} 280}}\,\mathrm{m} \] \[ r_2\,\dot{=}\,7{,}4{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm{m}\,=\,7{,}4\,\mathrm{mm} \]

    Uwaga: Ze wzoru widać, że moglibyśmy promień pęcherzyka przy dnie r1 podstawić w milimetrach, a wówczas otrzymalibyśmy i wynik w milimetrach.

  • Odpowiedź

    Przy powierzchni jeziora pęcherzyk będzie miał promień 7,4 mm.

  • Komentarz dotyczący ciśnienia wewnątrz pęcherzyka

    Na ciśnienie powietrza wewnątrz pęcherzyka ma wpływ również napięcie powierzchniowe wody. Zakrzywienie powierzchni generuje ciśnienie kapilarne o wartości:

    \[ p_k\,=\,\frac{2\sigma}{r}\,\mathrm{,} \]

    gdzie r to promień krzywizny a σ napięcie powierzchniowe, dla wody σ = 73 mN m-1 = 0,073 N m-1.

    Obliczmy wartość ciśnienia kapilarnego dla obu promieni:

    \[ p_{k1}\,=\,\frac{2{\cdot} 0{,}073}{5{\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,29\,\mathrm{Pa} \] \[ p_{k2}\,=\,\frac{2{\cdot} 0{,}073}{7{,}4{\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,20\,\mathrm{Pa} \]

    Jak widzimy, wartość ciśnienia kapilarnego pk w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym pa jest zaniedbywalna.

     

    Oprócz powietrza wewnątrz pęcherzyka znajduje się nasycona para wodna. Ciśnienie nasyconej pary wodnej dla obu temperatur możemy znaleźć w tablicach:

    dla t1 =  7 °C    mamy    ps = 1,02 kPa

    dla t1 = 27 °C    mamy    ps = 3,60 kPa

    A więc i ta wartość ciśnienia w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym jest zaniedbywalna.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)
Task requires extra constants