Pęcherzyk powietrza w jeziorze
Kod zadania: 1074
Pęcherzyk powietrza o promieniu 5,0 mm odrywa się od dna jeziora o głębokości 20,7 m. Temperatura w pobliżu dna wynosi 7 °C, a przy powierzchni 27 °C. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 100 kPa. Jak duży będzie pęcherzyk, gdy dotrze do powierzchni?
Podpowiedź
W pęcherzyku, który oderwie się od dna jeziora, nie zmieni się temperatura, jedynie ciśnienie - odpowiadać będzie ciśnieniu wody w otoczeniu.
Określ ciśnienie w pobliżu dna i przy powierzchni.
Zapis danych
h = 20,7 m głębokość jeziora r1 = 5,0 mm = 5,0·10-3 m promień pęcherzyka w pobliżu dna t1 = 7 °C => T1 = 280 K temperatura wody w pobliżu dna jeziora t2 = 27 °C => T1 = 300 K teperatura wody przy powierzchni pa = 100 kPa = 1,00·105 Pa ciśnienie atmosferyczne r2 = ? promień pęcherzyka przy powierzchni Z tablic:
ρ = 1000 kg m-3 gęstość wody g = 9,81 m s-2 przyspieszenie grawitacyjne Analiza
Przy określaniu promienia pęcherzyka będziemy zakładać, że ciśnienie gazu wewnątrz pęcherzyka musi być równe ciśnieniu wody w jej otoczeniu. Wynika to z warunku równowagi na granicy powietrze-woda.
Ciśnienie wody w otoczeniu pęcherzyka zależy od ciśnienia hydrostatycznego (a tym samym głębokości, na której jest pęcherzyk) oraz atmosferycznego, które zgodnie z prawem Pascala jest jednakowe w całej objętości jeziora. Ciśnienie gazu wewnątrz pęcherzyka obliczymy z równania stanu.
Uwaga: W pęcherzyku znajduje się powietrze i nasycona para wodna. W tablicach fizycznych możemy sprawdzić, że ciśnienie pary nasyconej w podanej temperaturze ma wartość kilku kPa. Wobec o wiele większego ciśnienia atmosferycznego wpływ pary nasyconej na ogólne ciśnienie w pęcherzyku pominiemy.
Rozwiązanie
Najpierw określmy ciśnienie wody w pobliżu dna jeziora p1, na które składa się ciśnienie atmosferyczne i hydrostatyczne
\[ p_1\,=\,p_a\,+\,h\rho g \]i zauważmy, że ciśnienie przy powierzchni jeziora p2 równe jest ciśnieniu atmosferycznemu
\[ p_2\,=\,p_a \]Będziemy zakładać, że powietrze we wnętrzu pęcherzyka zachowuje się jak gaz doskonały i może być opisane przez równanie stanu, tj. zachodzi
\[ \frac{p_1V_1}{T_1}\,=\,\frac{p_2V_2}{T_2} \]Ciśnienie powietrza będzie takie jak ciśnienie wody w otoczeniu, a objętość określimy ze wzoru na objętość kuli \[V\,=\,\frac{4}{3}\pi r^3\] Całość podstawiamy do równania stanu
\[ \frac{\left(p_a+h\rho g\right)\frac{4}{3}\pi r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_a\frac{4}{3}\pi r_2^3}{T_2} \] \[ \frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3}{T_1}\,=\,\frac{p_ar_2^3}{T_2} \]i określamy nieznany promień r2
\[ r_2^3\,=\,\frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_aT_1} \] \[ r_2\,=\,\sqrt[3]{\frac{\left(p_a+h\rho g\right)r_1^3T_2}{p_aT_1}} \]Podstawiamy wartości liczbowe
\[ r_2\,=\,5{\cdot} 10^{-3}\cdot \sqrt[3]{\frac{\left(10^5{\cdot} 20{,}7{\cdot} 1000\cdot 9{,}81\right)\cdot 300}{10^5{\cdot} 280}}\,\mathrm{m} \] \[ r_2\,\dot{=}\,7{,}4{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm{m}\,=\,7{,}4\,\mathrm{mm} \]Uwaga: Ze wzoru widać, że moglibyśmy promień pęcherzyka przy dnie r1 podstawić w milimetrach, a wówczas otrzymalibyśmy i wynik w milimetrach.
Odpowiedź
Przy powierzchni jeziora pęcherzyk będzie miał promień 7,4 mm.
Komentarz dotyczący ciśnienia wewnątrz pęcherzyka
Na ciśnienie powietrza wewnątrz pęcherzyka ma wpływ również napięcie powierzchniowe wody. Zakrzywienie powierzchni generuje ciśnienie kapilarne o wartości:
\[ p_k\,=\,\frac{2\sigma}{r}\,\mathrm{,} \]gdzie r to promień krzywizny a σ napięcie powierzchniowe, dla wody σ = 73 mN m-1 = 0,073 N m-1.
Obliczmy wartość ciśnienia kapilarnego dla obu promieni:
\[ p_{k1}\,=\,\frac{2{\cdot} 0{,}073}{5{\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,29\,\mathrm{Pa} \] \[ p_{k2}\,=\,\frac{2{\cdot} 0{,}073}{7{,}4{\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,20\,\mathrm{Pa} \]Jak widzimy, wartość ciśnienia kapilarnego pk w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym pa jest zaniedbywalna.
Oprócz powietrza wewnątrz pęcherzyka znajduje się nasycona para wodna. Ciśnienie nasyconej pary wodnej dla obu temperatur możemy znaleźć w tablicach:
dla t1 = 7 °C mamy ps = 1,02 kPa
dla t1 = 27 °C mamy ps = 3,60 kPa
A więc i ta wartość ciśnienia w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym jest zaniedbywalna.
