Lód i dwie porcje ciepłej wody

Kod zadania: 1067

Do wody o temperaturze 70 °C i masie 1 kg wkładamy kostkę lodu o temperaturze −10 °C i masie 2 kg. Do tej mieszaniny dolewamy jeszcze litr wody o temperaturze 40 °C.

Cały proces odbywa się pod normalnym ciśnieniem atmosferycznym.

Jaka będzie końcowa temperatura tej mieszaniny?

  • Podpowiedź

    Co będzie się działo z temperaturą i ciepłem, gdy do ciepłej wody włożymy zimny lód?

  • Analiza

    Ponieważ na początku woda ma wyższą temperaturę niż lód, będzie mu przekazywać ciepło. Ciepło pobrane przez lód wykorzystywane jest najpierw na jego ogrzanie do temperatury topnienia, potem na samo topnienie, a w końcu (jeśli woda nie oddała jeszcze całego ciepła) i na ogrzanie powstałej wody do temperatury końcowej.

    Końcowy stan układu będzie zależał od tego, ile ciepła mu woda przekaże. Jeśli ilość ciepła będzie większa niż ciepło potrzebne na roztopienie całego lodu, końcowym stanem będzie woda o temperaturze wyższej niż 0 °C.

    Jeśli ilość ciepła przekazana przez wodę będzie dokładnie równa ilości ciepła potrzebnego do rozpuszczenia lodu, otrzymamy wodę o temperaturze 0 °C.

    Kolejna mozliwość jest taka, że dostarczone ciepło nie wystarczy do rozpuszczenia lodu. W takim przypadku powstanie mieszanina wody i lodu o temperaturze 0 °C (przy założeniu, że woda dostarczy ilość ciepła wystarczającą do ogrzania lodu).

    Ostatnia możliwość jest taka, że ciepło oddane przez ochładzającą się wodę nie wystarczy na ogrzanie lodu do temperatury topnienia. Woda zacznie zamarzać i w rezultacie powstanie albo mieszanina wody z lodem o temperaturze 0 °C, albo nawet tylko sam lód.

    Przy rozwiązywaniu będziemy porównywać ilości ciepła dostarczonego i pobranego, określimy więc z którym przypadkiem będziemy mieli do czynienia.

  • Zapis danych

    m1 = 1 kg początkowa masa wody
    t1 = 70 °C początkowa temperatura wody
    m2 = 2 kg masa dodanego lodu
    t2 = −10 °C temperatura dodanego lodu
    m3 = 1 kg masa dolanej wody
    t3 = 40 °C temperatura dolanej wody
    tt = 0 °C ciepło topnienia lodu
    mr = ? masa lodu, który się rozpuści

    Z tablic:

    cv = 4180 J kg−1 K−1 ciepło właściwe wody
    cl = 2100 J kg−1 K−1 ciepło właściwe lodu
    lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1 ciepło topnienia lodu
  • Rozwiązanie

    Na początek wygodnie będzie przyjąć, że woda jest wystarczająco ciepła (i jest jej dostatecznie dużo), aby roztopić lód. Przy takim założeniu policzmy ile ciepła uzyskalibyśmy od każdej z porcji wody Q1od i Q2od, gdybyśmy ochładzali ją do temperatury topnienia lodu tt = 0 °C.

    Te ilości ciepła oraz ich suma wynoszą:

    Q1od = m1cv(t1tt)

    Q2od = m3cv(t3tt)

    Q1od + Q2od = m1cv(t1tt) + m3cv(t3tt)

    Q1od + Q2od = [1 · 4180 · (70 − 0) + 1 · 4180 · (40 − 0)] J

    = 459,8·103 J = 459,8 kJ

    Teraz określmy ilość ciepła, którą musiałby pobrać lód, aby całkowicie się stopić. Musimy wziąć pod uwagę, że chodzi o ciepło Q1d potrzebne do ogrzania 2 kilogramów lodu do temperatury topnienia i ciepło Q2d potrzebne do stopienia lodu.

    Będziemy mieli:

    Q1d = m2cl(ttt2)

    Q2d = ltm2

    Q1d + Q2d = m2cl(ttt2) + ltm2

    Q1d + Q2d = [2 · 2100 · (0 − (−10)) + 334·103 · 2] J =

    = (42·103 + 668·103 ) J = 710 kJ

    Jak widzimy, łączne ciepło oddane przez wodę przy ochłodzeniu do 0 °C nie wystarczy do roztopienia całego lodu, ale wystarczy do ogrzania lodu do temperatury topnienia. Zatem stan końcowy będzie taki, że woda ochłodzi się do 0 °C, lód ogrzeje się do 0 °C, a pewna jego część o masie mr rozpuści się. To, o jaką część chodzi, określimy w następujący sposób:

    Łączne ciepło oddane przy ochładzaniu wody wynosi Q1od + Q2od. Od niego musimy odjąć ciepło Q1d potrzebne do ogrzania lodu do temperatury topnienia. To, co pozostanie, posłuży do stopienia części lodu.

    Będziemy mieć:

    mrlt = Q1od + Q2odQ1d

    Z ostatniego równania określimy mr

    \[m_{r} = \frac{Q_{1od} + Q_{2od} - Q_{1d}}{l_{t}}\]
  • Rozwiązanie liczbowe

    \[m_{r} = \frac{Q_{1od} + Q_{2od} - Q_{1d}}{l_{t} }\] \[m_{r} =\frac{459{,}8\cdot {10^{3}} - 2\cdot {2100}\cdot \left( 0-\left( -10\right)\right)}{334\cdot {10^{3}}}\, \mathrm{kg}\,\dot{=}\, 1{,}25\, \mathrm{kg}\]
  • Odpowiedź

    Jako stan końcowy otrzymamy mieszaninę wody z lodem o temperaturze tt = 0 °C, przy czym z 2 kilogramów lodu rozpuści się część o masie mr = 1,25 kg.

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna
Zadanie teoretyczne
Task requires extra constants