Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Lód i dwie porcje ciepłej wody

Kod zadania: 1067

• Podpowiedź

  Co będzie się działo z temperaturą i ciepłem, gdy do ciepłej wody włożymy zimny lód?

• Analiza

  Ponieważ na początku woda ma wyższą temperaturę niż lód, będzie mu przekazywać ciepło. Ciepło pobrane przez lód wykorzystywane jest najpierw na jego ogrzanie do temperatury topnienia, potem na samo topnienie, a w końcu (jeśli woda nie oddała jeszcze całego ciepła) i na ogrzanie powstałej wody do temperatury końcowej.

  Końcowy stan układu będzie zależał od tego, ile ciepła mu woda przekaże. Jeśli ilość ciepła będzie większa niż ciepło potrzebne na roztopienie całego lodu, końcowym stanem będzie woda o temperaturze wyższej niż 0 °C.

  Jeśli ilość ciepła przekazana przez wodę będzie dokładnie równa ilości ciepła potrzebnego do rozpuszczenia lodu, otrzymamy wodę o temperaturze 0 °C.

  Kolejna mozliwość jest taka, że dostarczone ciepło nie wystarczy do rozpuszczenia lodu. W takim przypadku powstanie mieszanina wody i lodu o temperaturze 0 °C (przy założeniu, że woda dostarczy ilość ciepła wystarczającą do ogrzania lodu).

  Ostatnia możliwość jest taka, że ciepło oddane przez ochładzającą się wodę nie wystarczy na ogrzanie lodu do temperatury topnienia. Woda zacznie zamarzać i w rezultacie powstanie albo mieszanina wody z lodem o temperaturze 0 °C, albo nawet tylko sam lód.

  Przy rozwiązywaniu będziemy porównywać ilości ciepła dostarczonego i pobranego, określimy więc z którym przypadkiem będziemy mieli do czynienia.

• Zapis danych

  m1 = 1 kg	początkowa masa wody
  t1 = 70 °C	początkowa temperatura wody
  m2 = 2 kg	masa dodanego lodu
  t2 = −10 °C	temperatura dodanego lodu
  m3 = 1 kg	masa dolanej wody
  t3 = 40 °C	temperatura dolanej wody
  tt = 0 °C	ciepło topnienia lodu
  mr = ?	masa lodu, który się rozpuści

  Z tablic:

  cv = 4180 J kg−1 K−1	ciepło właściwe wody
  cl = 2100 J kg−1 K−1	ciepło właściwe lodu
  lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1	ciepło topnienia lodu

• Rozwiązanie

  Na początek wygodnie będzie przyjąć, że woda jest wystarczająco ciepła (i jest jej dostatecznie dużo), aby roztopić lód. Przy takim założeniu policzmy ile ciepła uzyskalibyśmy od każdej z porcji wody Q_1od i Q_2od, gdybyśmy ochładzali ją do temperatury topnienia lodu t_t = 0 °C.

  Te ilości ciepła oraz ich suma wynoszą:

  Q_1od = m₁c_v(t₁ − t_t)

  Q_2od = m₃c_v(t₃ − t_t)

  Q_1od + Q_2od = m₁c_v(t₁ − t_t) + m₃c_v(t₃ − t_t)

  Q_1od + Q_2od = [1 · 4180 · (70 − 0) + 1 · 4180 · (40 − 0)] J

  = 459,8·10³ J = 459,8 kJ

  Teraz określmy ilość ciepła, którą musiałby pobrać lód, aby całkowicie się stopić. Musimy wziąć pod uwagę, że chodzi o ciepło Q_1d potrzebne do ogrzania 2 kilogramów lodu do temperatury topnienia i ciepło Q_2d potrzebne do stopienia lodu.

  Będziemy mieli:

  Q_1d = m₂c_l(t_t − t₂)

  Q_2d = l_tm₂

  Q_1d + Q_2d = m₂c_l(t_t − t₂) + l_tm₂

  Q_1d + Q_2d = [2 · 2100 · (0 − (−10)) + 334·10³ · 2] J =

  = (42·10³ + 668·10³ ) J = 710 kJ

  Jak widzimy, łączne ciepło oddane przez wodę przy ochłodzeniu do 0 °C nie wystarczy do roztopienia całego lodu, ale wystarczy do ogrzania lodu do temperatury topnienia. Zatem stan końcowy będzie taki, że woda ochłodzi się do 0 °C, lód ogrzeje się do 0 °C, a pewna jego część o masie m_r rozpuści się. To, o jaką część chodzi, określimy w następujący sposób:

  Łączne ciepło oddane przy ochładzaniu wody wynosi Q_1od + Q_2od. Od niego musimy odjąć ciepło Q_1d potrzebne do ogrzania lodu do temperatury topnienia. To, co pozostanie, posłuży do stopienia części lodu.

  Będziemy mieć:

  m_rl_t = Q_1od + Q_2od − Q_1d

  Z ostatniego równania określimy m_r

  \[m_{r} = \frac{Q_{1od} + Q_{2od} - Q_{1d}}{l_{t}}\]

• Rozwiązanie liczbowe

  \[m_{r} = \frac{Q_{1od} + Q_{2od} - Q_{1d}}{l_{t} }\] \[m_{r} =\frac{459{,}8\cdot {10^{3}} - 2\cdot {2100}\cdot \left( 0-\left( -10\right)\right)}{334\cdot {10^{3}}}\, \mathrm{kg}\,\dot{=}\, 1{,}25\, \mathrm{kg}\]

• Odpowiedź

  Jako stan końcowy otrzymamy mieszaninę wody z lodem o temperaturze t_t = 0 °C, przy czym z 2 kilogramów lodu rozpuści się część o masie m_r = 1,25 kg.