Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Dwa połączone zbiorniki z gazem

Kod zadania: 1075

• Podpowiedź

  Przy pomocy równania stanu gazu doskonałego możemy określić ilość gazu w obu naczyniach.

  Po połączeniu naczyń część gazu przepłynie z naczynia A do naczynia B tak, aby w obu częściach panowało to samo ciśnienie. Ciśnienie w każdym naczyniu można określić z równania stanu. Trzeba też pamiętać, że ogólna ilość gazu w naczyniach przed i po otwarciu kurka musi być jednakowa.

• Zapis danych

  TA = 300 K	temperatura w zbiorniku A
  pA = 5,0·105 Pa	ciśnienie gazu w zbiorniku A
  VB = 4VA	związek między objętościami obu zbiorników
  TB = 400 K	temperatura zbiornika B
  pB = 1,0·105 Pa	ciśnienie gazu w zbiorniku B
  p = ?	końcowe ciśnienie gazu

• Analiza

  Na początku z równania stanu gazu doskonałego określimy ilości gazu w obu zbiornikach przed otwarciem kurka.

  Po otwarciu kurka gaz rozdzieli się tak, by w obu zbiornikach panowało to samo ciśnienie. Nadal jednak w każdym zbiorniku spełnione będzie równanie stanu, z którego uzyskamy ilości gazu w każdym zbiorniku również po otwarciu kurka.

  Ponieważ gaz nie wydostawał się na zewnątrz, jego całkowita ilość w obu zbiornikach przed i po otwarciu kurka będzie taka sama. Stąd też określimy szukaną wartość ciśnienia.

• Rozwiązanie

  Dla gazu w zbiorniku A zapiszemy równanie stanu w postaci:

  $$p_AV_A\,=\,n_ART_A$$

  gdzie n_A oznacza nieznaną liczbę moli gazu w zbiorniku A, którą z tego równania wyznaczymy:

  $$n_A\,=\,\frac{p_AV_A}{RT_A}$$

  Podobnie wyznaczymy liczbę moli gazu w zbiorniku B:

  $$p_BV_B\,=\,n_BRT_B\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_B\,=\,\frac{p_BV_B}{RT_B}\,=\,\frac{4p_BV_A}{RT_B}$$

  Liczbę moli gazu w zbiorniku A po otwarciu kurka oznaczymy n₁, a w zbiorniku B n₂. Obie wartości określimy z równania stanu, zapisując też tę samą wartość ciśnienia końcowego p dla obu zbiorników.

  $$pV_A\,=\,n_1RT_A\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_1\,=\,\frac{pV_A}{RT_A}$$ $$p4V_A\,=\,n_2RT_B\,\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}n_2\,=\,\frac{4pV_A}{RT_B}$$

  Całkowita liczba moli gazu w obu zbiornikach przed i po otwarciu kurka jest taka sama, musi więc zachodzić:

  $$n_A\,+\,n_B\,=\,n_1\,+\,n_2$$ $$\frac{p_AV_A}{RT_A}\,+\,\frac{4p_BV_A}{RT_B}\,=\,\frac{pV_A}{RT_A}\,+\,\frac{4pV_A}{RT_B}$$

  Ostatnie równanie przekształcimy i obliczymy szukaną wartość ciśnienia  p:

  $$\frac{V_A}{R}\left(\frac{p_A}{T_A}\,+\,\frac{4p_B}{T_B}\right)\,=\,\frac{pV_A}{R}\left(\frac{1}{T_A}\,+\,\frac{4}{T_B}\right)$$ $$p\,=\,\frac{p_AT_B+4p_BT_A}{T_AT_B}\frac{T_AT_B}{T_B+4T_A}\,=\,\frac{p_AT_B+4p_BT_A}{T_B+4T_A}$$

  Podstawiając dane liczbowe:

  $$p\,=\,\frac{5{\cdot} 10^5{\cdot} 400\,+\,4{\cdot} 1\cdot 10^5{\cdot} 300}{400\,+\,4{\cdot} 300}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,2{,}0{\cdot} 10^5\,\mathrm{Pa}$$

• Odpowiedź

  Po otwarciu kurka ciśnienie gazu w obu zbiornikach wyniesie 2,0·10⁵ Pa.