Opóźnienie zegara w wyższej temperaturze

Kod zadania: 1064

O jaką wartość zmieni się półokres drgań mosiężnego wahadła, który w temperaturze 10 °C wynosi 1 s, jeśli zwiększymy temperaturę otoczenia do 25 °C?

O ile w ciągu doby opóźniałby się taki zegar?

  • Podpowiedź 1

    Zwróćmy uwagę, że w zadaniu mowa jest o półokresie drgań.

    Okres drgań wahadła to czas, w którym wykonuje ono ruch „tam i z powrotem“. Półokres odpowiada połowie tego czasu, tj. ruchowi wahadła tylko „tam“.

  • Podpowiedź 2

    Zastanów się, co dzieje się z długością mosiężnego wahadła przy wzroście temperatury. Jaki ma to wpływ na okres (i półokres) drgań wahadła?

  • Analiza

    Przy temperaturze 10 °C półokres drgań mosiężnego wahadła wynosi 1 s. W wyższej temperaturze wskutek rozszerzalności termicznej wahadło będzie się wydłużać. Ponieważ półokres drgań wahadła zależy od jego długości, jego wartość zwiększy się.

    Przy rozwiązywaniu pamiętajmy, że półokres to połowa okresu drgań.

  • Zapis danych

    t1 = 10 °C  początkowa temperatura
    t2 = 25 °C  temperatura końcowa
    Δτ = ? zmiana półokresu wahadła przy wyższej temperaturze
    τc = ? opóźnienie zegara w ciągu jednej doby

    Z tablic:

    α = 20·10−6 °C−1 współczynnik rozszerzalności liniowej mosiądzu
  • Rozwiązanie

    Na półokres drgań wahadła τ1 przy temperaturze początkowej t1 zapiszemy wzór:

    \[\tau_1=\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}\,,\]

    gdzie l1 to długość wahadła, a g przyspieszenie ziemskie. Przyspieszenie ziemskie nie zależy od temperatury, ale długość będzie wzrastać, tak więc dla temperatury t2 możemy zapisać:

    \[l_2=l_1\left(1+\alpha\,\mathrm{\Delta}t\right)=l_1\left[1+\alpha\left(t_2-t_1\right)\right]\,.\]

    To oznacza, że półokres drgań po ogrzaniu wzrośnie do τ2

    \[\tau_2=\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}=\pi\sqrt{\frac{l_1\left[1+\alpha\left(t_2-t_1\right)\right]}{g}}=\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} \,\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}\] \[\tau_2=\tau_1\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}\,.\]

    Zegar z każdą sekundą opóźniać się będzie o Δτ:

    \[ \mathrm{\Delta}\tau=\tau_2-\tau_1. \]

    Obliczone opóźnienie jednego półokresu na sekundę Δτ przemnożymy przez liczbę sekund w ciągu doby i otrzymamy wielkość opóźnienia zegara na dobę. Zatem całkowite opóźnienie Δτc wynosi

    \[ \mathrm{\Delta}\tau_c=24\cdot{60}\cdot{60}\cdot\mathrm{\Delta}\tau=86400\cdot\mathrm{\Delta}\tau. \]

    Rozwiązanie liczbowe:

    \[\tau_1=\tau_0\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}=1\sqrt{1+19\cdot{10^{-6}}\left(25-10\right)}\,\mathrm{s}=1{,}00014\,\mathrm{s}\] \[\mathrm{\Delta}\tau=\tau_1-\tau_0=\left(1{,} 00014-1\right)\,\mathrm{s}=0{,}00014\,\mathrm{s}\] \[\mathrm{\Delta}\tau_c=86400\cdot\mathrm{\Delta}\tau=86400\cdot{0{,}00014}\,\mathrm{s}\,\dot{=}\,12\,\mathrm{s}\]
  • Odpowiedź

    Półokres po ogrzaniu wzrośnie do wartości ok. 1,00014 s, co z kolei spowoduje dobowe opóźnienie o 12 s (tj. jedna doba trwałaby wg tego zegara o 12 s dłużej).

  • Dla zainteresowanych

    W dzisiejszym świecie zależy nam na jak najdokładniejszym pomiarze czasu (np. dla sieci GPS i inych urządzeń). Jak zauważyliśmy w zadaniu, chód zegara wahadłowego zależy od temperatury i na pewno nie zapewnia wystarczającej dokładności. Stosowane dziś zegary atomowe zapewniają równomierny chód i opóźnienie nie przekraczające 1 s w czasie ok. 15 mln lat. Jeszcze dokładniejsze są atomowe zegary optyczne, których odchylenie nie powinno przekroczyć 1 s w przeciągu kilkudziesięciu miliardów lat!

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)
Task requires extra constants