Opóźnienie zegara w wyższej temperaturze
Kod zadania: 1064
O jaką wartość zmieni się półokres drgań mosiężnego wahadła, który w temperaturze 10 °C wynosi 1 s, jeśli zwiększymy temperaturę otoczenia do 25 °C?
O ile w ciągu doby opóźniałby się taki zegar?
Podpowiedź 1
Zwróćmy uwagę, że w zadaniu mowa jest o półokresie drgań.
Okres drgań wahadła to czas, w którym wykonuje ono ruch „tam i z powrotem“. Półokres odpowiada połowie tego czasu, tj. ruchowi wahadła tylko „tam“.
Podpowiedź 2
Zastanów się, co dzieje się z długością mosiężnego wahadła przy wzroście temperatury. Jaki ma to wpływ na okres (i półokres) drgań wahadła?
Analiza
Przy temperaturze 10 °C półokres drgań mosiężnego wahadła wynosi 1 s. W wyższej temperaturze wskutek rozszerzalności termicznej wahadło będzie się wydłużać. Ponieważ półokres drgań wahadła zależy od jego długości, jego wartość zwiększy się.
Przy rozwiązywaniu pamiętajmy, że półokres to połowa okresu drgań.
Zapis danych
t1 = 10 °C początkowa temperatura t2 = 25 °C temperatura końcowa Δτ = ? zmiana półokresu wahadła przy wyższej temperaturze τc = ? opóźnienie zegara w ciągu jednej doby Z tablic:
α = 20·10−6 °C−1 współczynnik rozszerzalności liniowej mosiądzu Rozwiązanie
Na półokres drgań wahadła τ1 przy temperaturze początkowej t1 zapiszemy wzór:
\[\tau_1=\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}\,,\]gdzie l1 to długość wahadła, a g przyspieszenie ziemskie. Przyspieszenie ziemskie nie zależy od temperatury, ale długość będzie wzrastać, tak więc dla temperatury t2 możemy zapisać:
\[l_2=l_1\left(1+\alpha\,\mathrm{\Delta}t\right)=l_1\left[1+\alpha\left(t_2-t_1\right)\right]\,.\]To oznacza, że półokres drgań po ogrzaniu wzrośnie do τ2
\[\tau_2=\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}=\pi\sqrt{\frac{l_1\left[1+\alpha\left(t_2-t_1\right)\right]}{g}}=\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} \,\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}\] \[\tau_2=\tau_1\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}\,.\]Zegar z każdą sekundą opóźniać się będzie o Δτ:
\[ \mathrm{\Delta}\tau=\tau_2-\tau_1. \]Obliczone opóźnienie jednego półokresu na sekundę Δτ przemnożymy przez liczbę sekund w ciągu doby i otrzymamy wielkość opóźnienia zegara na dobę. Zatem całkowite opóźnienie Δτc wynosi
\[ \mathrm{\Delta}\tau_c=24\cdot{60}\cdot{60}\cdot\mathrm{\Delta}\tau=86400\cdot\mathrm{\Delta}\tau. \]Rozwiązanie liczbowe:
\[\tau_1=\tau_0\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}=1\sqrt{1+19\cdot{10^{-6}}\left(25-10\right)}\,\mathrm{s}=1{,}00014\,\mathrm{s}\] \[\mathrm{\Delta}\tau=\tau_1-\tau_0=\left(1{,} 00014-1\right)\,\mathrm{s}=0{,}00014\,\mathrm{s}\] \[\mathrm{\Delta}\tau_c=86400\cdot\mathrm{\Delta}\tau=86400\cdot{0{,}00014}\,\mathrm{s}\,\dot{=}\,12\,\mathrm{s}\]Odpowiedź
Półokres po ogrzaniu wzrośnie do wartości ok. 1,00014 s, co z kolei spowoduje dobowe opóźnienie o 12 s (tj. jedna doba trwałaby wg tego zegara o 12 s dłużej).
Dla zainteresowanych
W dzisiejszym świecie zależy nam na jak najdokładniejszym pomiarze czasu (np. dla sieci GPS i inych urządzeń). Jak zauważyliśmy w zadaniu, chód zegara wahadłowego zależy od temperatury i na pewno nie zapewnia wystarczającej dokładności. Stosowane dziś zegary atomowe zapewniają równomierny chód i opóźnienie nie przekraczające 1 s w czasie ok. 15 mln lat. Jeszcze dokładniejsze są atomowe zegary optyczne, których odchylenie nie powinno przekroczyć 1 s w przeciągu kilkudziesięciu miliardów lat!
