Kąpiel

Kod zadania: 601

W wannie znajduje się 220 litrów wody o temperaturze 55°C. Ile wody o temperaturze 14°C należy dolać do wanny, aby temperatura wody w wannie wynosiła 40°C? Pomiń wymianę ciepła między wodą i wanną.

Do obliczeń przyjmij gęstość wody równą 1000 kg/m3.

  • Podpowiedź

    Wykorzystamy równanie ciepła, które mówi, że ciepło oddane przez cieplejsze ciało jest równe ciepłu przyjętemu przez zimniejsze ciało (prawo zachowania energii).

  • Zapis danych

    Vh = 220 lobjętość ciepłej wody w wannie;
    th = 55 °Ctemperatura początkowa wody ciepłej;
    ts = 14 °Ctemperatura wody zimnej, którą trzeba dolać do wanny;
    tk = 40 °Ckońcowa temperatura wody;
    ρ = 1000 kgm-3  gęstość wody;
    Vs = ?objętość dolanej zimnej wody.
  • Analiza

    Rozwiązania tego zadania będziemy szukać korzystając z kalorymetrycznego równania, które mówi, że suma energii cieplnej potrzebna do ogrzania chłodniejszego ciała, jest równa ciepłu pochodzącemu z cieplejszego ciała. Z podanych danych, możemy bezpośrednio obliczyć ciepło, które potrzebne jest do osiągnięcia żądanej temperatury wody w wannie.

  • Rozwiązanie

    Ciepło \(Q_1\) niech będzie ciepłem pochodzącym od ciepłej wody:

    \[Q_1 = c_v m_h (t_h - t_k)= c_v V_h \varrho (t_h - t_k). \]

    Ciepło pochodzące od zimnej wody oznaczymy przez \(Q_2\):

    \[Q_2 = c_v m_s (t_k - t_s) = c_v V_s \varrho (t_k - t_s).\]

    Zgodnie z równaniem kalorymetrycznym mamy

    \[Q_1 = Q_2\]

    \[c_v V_h \varrho (t_h - t_k) = c_v V_s \varrho (t_k - t_s)\]

    Zatem do określenia ilości zimnej wody posłuży nam wzór:

    \[ V_h (t_h - t_k) = V_s (t_k - t_s)\]

    \[ V_s = V_h \frac { t_h - t_k}{t_k - t_s}\]

    Możemy teraz zastąpić wielkości literowe określonymi wartości liczbowymi (biorąc pod uwagę, że obliczenie różnicy temperatury, możemy dokonać zarówno poprzez wielkości temperatury w kelwinach, albo stopniach Celsjusza).

    \[ V_s = 220 \cdot \frac { 55 - 40}{40 - 14}\,\mathrm l = 127 \,\mathrm l\]

  • Odpowiedź

    Należy do wanny dolać 127 litrów zimnej wody.

Poziom: Poziom 1 – Gimnazjum