Kąpiel
Kod zadania: 601
W wannie znajduje się 220 litrów wody o temperaturze 55°C. Ile wody o temperaturze 14°C należy dolać do wanny, aby temperatura wody w wannie wynosiła 40°C? Pomiń wymianę ciepła między wodą i wanną.
Do obliczeń przyjmij gęstość wody równą 1000 kg/m3.
Podpowiedź
Wykorzystamy równanie ciepła, które mówi, że ciepło oddane przez cieplejsze ciało jest równe ciepłu przyjętemu przez zimniejsze ciało (prawo zachowania energii).
Zapis danych
Vh = 220 l objętość ciepłej wody w wannie; th = 55 °C temperatura początkowa wody ciepłej; ts = 14 °C temperatura wody zimnej, którą trzeba dolać do wanny; tk = 40 °C końcowa temperatura wody; ρ = 1000 kgm-3 gęstość wody; Vs = ? objętość dolanej zimnej wody. Analiza
Rozwiązania tego zadania będziemy szukać korzystając z kalorymetrycznego równania, które mówi, że suma energii cieplnej potrzebna do ogrzania chłodniejszego ciała, jest równa ciepłu pochodzącemu z cieplejszego ciała. Z podanych danych, możemy bezpośrednio obliczyć ciepło, które potrzebne jest do osiągnięcia żądanej temperatury wody w wannie.
Rozwiązanie
Ciepło \(Q_1\) niech będzie ciepłem pochodzącym od ciepłej wody:
\[Q_1 = c_v m_h (t_h - t_k)= c_v V_h \varrho (t_h - t_k). \]
Ciepło pochodzące od zimnej wody oznaczymy przez \(Q_2\):
\[Q_2 = c_v m_s (t_k - t_s) = c_v V_s \varrho (t_k - t_s).\]
Zgodnie z równaniem kalorymetrycznym mamy
\[Q_1 = Q_2\]
\[c_v V_h \varrho (t_h - t_k) = c_v V_s \varrho (t_k - t_s)\]
Zatem do określenia ilości zimnej wody posłuży nam wzór:
\[ V_h (t_h - t_k) = V_s (t_k - t_s)\]
\[ V_s = V_h \frac { t_h - t_k}{t_k - t_s}\]
Możemy teraz zastąpić wielkości literowe określonymi wartości liczbowymi (biorąc pod uwagę, że obliczenie różnicy temperatury, możemy dokonać zarówno poprzez wielkości temperatury w kelwinach, albo stopniach Celsjusza).
\[ V_s = 220 \cdot \frac { 55 - 40}{40 - 14}\,\mathrm l = 127 \,\mathrm l\]
Odpowiedź
Należy do wanny dolać 127 litrów zimnej wody.
