Zmiana objętości ciała przy ogrzewaniu

Kod zadania: 1068

W temperaturze 0 °C umieszczono żelazny sześcian o krawędzi 0,2 m i przedmiot z cynku - prostopadłościan, którego dwie krawędzie mają również po 0,2 m, a trzecia: 0,199 m.

Ustal, w jakiej temperaturze oba ciała będą miały tę samą objętość.

  • Podpowiedź

    Zastanów się, co się dzieje z objętością ciała przy zwiększaniu temperatury i jakim wzorem opisujemy tę zmianę?

  • Analiza

    Przy zwiększaniu temperatury będą rosły objętości obu ciał wskutek rozszerzalności termicznej.

    Ponieważ cynk ma większy współczynnik rozszerzalności, objętość cynkowego prostopadłościanu będzie rosła szybciej niż żelaznego sześcianu. W pewnej temperaturze obydwie objętości się wyrównają. Temperaturę tę określimy wykorzystując prawo rozszerzalności.

  • Zapis danych

    t1 = 0 °C początkowa temperatura
    a = 0,2 m długość krawędzi żelaznego sześcianu i dwóch krawędzi cynkowego prostopadłościanu
    b = 0,199 m długość trzeciej krawędzi cynkowego prostopadłościanu
    tr = ? temperatura, w której oba ciała będą miały tę samą objętość

    Z tablic:

    αFe = 1,2·10−5 K−1 współczynnik rozszerzalności żelaza
    αZn = 2,9·10−5 K−1 współczynnik rozszerzalności cynku
  • Rozwiązanie

    Przy wzroście temperatury rośnie objętość obu ciał, przy czym żelaza (ze względu na niższą wartość współczynnika rozszerzalności) wolniej. W pewnej temperaturze objętości obu ciał się zrównają.

    Między współczynnikiem rozszerzalności liniowej α a objętościowej β zachodzi związek:

    \[\beta_{Fe} = 3\alpha_{Fe}\] \[\beta_{Zn} = 3\alpha_{Zn}\]

    Porównajmy końcowe objętości obu ciał:

    \[V_{Fe}=V_{Zn}\]

    i podstawmy wzór na rozszerzalność objętościową:

    \[V_{0Fe}\left[1+\beta_{Fe}(t_{r}-t_{1})\right]=V_{0Zn}\left[1+\beta_{Zn}(t_{r}-t_{1})\right],\]

    gdzie t1 to początkowa temperatura obu ciał.

    Następnie podstawmy początkowe objętości V0Fe = a3 i V0Zn = a2b, gdzie a, b oznaczają wymiary przedmiotów.

    \[a^{3}\left[1+\beta_{Fe}(t_{r}-t_{1})\right]=a^{2}b\left[1+\beta_{Zn}(t_{r}-t_{1})\right]\]

    Następnie określamy szukaną temperaturę tr:

    \[a^{3}-a^{2}b=(t_{r}-t_{1})(a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe})\] \[t_{r}-t_{1}=\frac{a^{3}-a^{2}b}{a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe}}\] \[t_{r}=t_{1}+\frac{a^{3}-a^{2}b}{a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe}}\]
  • Rozwiązanie liczbowe

    \[\beta_{Fe}=3\alpha_{Fe} = 3\cdot{1{,}2}\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}=3{,}6\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}\] \[\beta_{Zn}=3\alpha_{Zn} = 3\cdot{2{,}9}\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}=8{,}7\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}\]

     

    \[t_{r}=t_{1}+\frac{a^{3}-a^{2}b}{(a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe})}=\] \[= \frac{0{,}2^{3}-0{,}2^{2}\cdot0{,}199}{(0{,}2^{2}\cdot0{,}199\cdot{8{,}7}\cdot10^{-5}-0{,}2^{3}\cdot3{,}6\cdot{10^{-5}})}\,\mathrm{°C}\]

     

    \[t_{r} \,\dot{=}\, 98{,}9\,\mathrm{°C}\]
  • Odpowiedź

    Objętości obu ciał wyrównają się przy temperaturze 98,9 °C.

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)
Task requires extra constants