Zmiana objętości ciała przy ogrzewaniu
Kod zadania: 1068
W temperaturze 0 °C umieszczono żelazny sześcian o krawędzi 0,2 m i przedmiot z cynku - prostopadłościan, którego dwie krawędzie mają również po 0,2 m, a trzecia: 0,199 m.
Ustal, w jakiej temperaturze oba ciała będą miały tę samą objętość.
Podpowiedź
Zastanów się, co się dzieje z objętością ciała przy zwiększaniu temperatury i jakim wzorem opisujemy tę zmianę?
Analiza
Przy zwiększaniu temperatury będą rosły objętości obu ciał wskutek rozszerzalności termicznej.
Ponieważ cynk ma większy współczynnik rozszerzalności, objętość cynkowego prostopadłościanu będzie rosła szybciej niż żelaznego sześcianu. W pewnej temperaturze obydwie objętości się wyrównają. Temperaturę tę określimy wykorzystując prawo rozszerzalności.
Zapis danych
t1 = 0 °C początkowa temperatura a = 0,2 m długość krawędzi żelaznego sześcianu i dwóch krawędzi cynkowego prostopadłościanu b = 0,199 m długość trzeciej krawędzi cynkowego prostopadłościanu tr = ? temperatura, w której oba ciała będą miały tę samą objętość Z tablic:
αFe = 1,2·10−5 K−1 współczynnik rozszerzalności żelaza αZn = 2,9·10−5 K−1 współczynnik rozszerzalności cynku Rozwiązanie
Przy wzroście temperatury rośnie objętość obu ciał, przy czym żelaza (ze względu na niższą wartość współczynnika rozszerzalności) wolniej. W pewnej temperaturze objętości obu ciał się zrównają.
Między współczynnikiem rozszerzalności liniowej α a objętościowej β zachodzi związek:
\[\beta_{Fe} = 3\alpha_{Fe}\] \[\beta_{Zn} = 3\alpha_{Zn}\]Porównajmy końcowe objętości obu ciał:
\[V_{Fe}=V_{Zn}\]i podstawmy wzór na rozszerzalność objętościową:
\[V_{0Fe}\left[1+\beta_{Fe}(t_{r}-t_{1})\right]=V_{0Zn}\left[1+\beta_{Zn}(t_{r}-t_{1})\right],\]gdzie t1 to początkowa temperatura obu ciał.
Następnie podstawmy początkowe objętości V0Fe = a3 i V0Zn = a2b, gdzie a, b oznaczają wymiary przedmiotów.
\[a^{3}\left[1+\beta_{Fe}(t_{r}-t_{1})\right]=a^{2}b\left[1+\beta_{Zn}(t_{r}-t_{1})\right]\]Następnie określamy szukaną temperaturę tr:
\[a^{3}-a^{2}b=(t_{r}-t_{1})(a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe})\] \[t_{r}-t_{1}=\frac{a^{3}-a^{2}b}{a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe}}\] \[t_{r}=t_{1}+\frac{a^{3}-a^{2}b}{a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe}}\]Rozwiązanie liczbowe
\[\beta_{Fe}=3\alpha_{Fe} = 3\cdot{1{,}2}\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}=3{,}6\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}\] \[\beta_{Zn}=3\alpha_{Zn} = 3\cdot{2{,}9}\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}=8{,}7\cdot{10^{-5}}\,\mathrm{K^{-1}}\]
\[t_{r}=t_{1}+\frac{a^{3}-a^{2}b}{(a^{2}b\beta_{Zn}-a^{3}\beta_{Fe})}=\] \[= \frac{0{,}2^{3}-0{,}2^{2}\cdot0{,}199}{(0{,}2^{2}\cdot0{,}199\cdot{8{,}7}\cdot10^{-5}-0{,}2^{3}\cdot3{,}6\cdot{10^{-5}})}\,\mathrm{°C}\]
\[t_{r} \,\dot{=}\, 98{,}9\,\mathrm{°C}\]Odpowiedź
Objętości obu ciał wyrównają się przy temperaturze 98,9 °C.
