Ogrzewanie drewnianego domku

Kod zadania: 1069

a) Jaka ilość ciepła ucieka w zimowy dzień na zewnątrz przez ściany drewnianego domu? Długość domku wynosi 10 m, szerokość 7 m, wysokość ścian 3,5 m, a ich grubość 50 cm. Temperatura na zewnątrz wynosi -10 °C, a wewnątrz utrzymujemy 18 °C.

b) Ile drewna musimy spalić w piecu w ciągu doby, aby utrzymać tę temperaturę przy założeniu sprawności równej 30 % ?

c) Ile zapłacilibyśmy za ogrzewanie elektryczne, którego sprawność jest bliska 100%, przy założeniu że 1 kWh energii elektrycznej kosztuje 0,40 zł?

d) Jaka ilość wody musiałaby przepływać przez grzejnik przy założeniu temperatury wody wpływającej równej 80 °C, a wypływającej 70 °C?

Zakładamy, że dach ma tak dobrą izolację, że straty ciepła możemy pominąć.

Podpowiedź
Przenikającą przez ściany ilość ciepła pomoże nam oszacować przewodność cieplna (współczynnik przewodnictwa ciepła).
Ilość przekazanej energii
Równanie na ilość przekazanej energii:
\[Q=\lambda\frac{S\mathrm{\Delta}t}{d}\tau\]
gdzie Q to ilość przekazanej energii cieplnej, λ współczynnik przewodnictwa cieplnego (charakteryzujący dany materiał), który znajdziemy w tablicach, S pole przekroju przez który przepływa ciepło, d grubość przegrody, Δt różnica temperatur w kierunku przewodzenia ciepła, a τ to czas.

Zakładamy, że różnica temperatur utrzymuje się na stałym poziomie.

Zapis danych

a = 10 m		długość domku
b = 7 m		szerokość domku
h = 3,5 m		wysokość ścian domku
d = 50 cm = 0,50 m		grubość ścian domku
t₁ = -10 ^oC		temperatura na zewnątrz
t₂ = 18 ^oC		temperatura wewnątrz
t₃ = 80 ^oC		temperatura wody wpływającej do grzejnika
t₄ = 70 ^oC		temperatura wody wypływającej
τ = 1 d = 86 400 s		czas
η = 30 % = 0,3		sprawność spalania drewna
Q = ?		szukana ilość ciepła
m = ?		masa spalonego drewna
q_v = ?		przepływ wody w grzejniku
Z tablic:
λ = 0,15 W m^-1K^-1		współczynnik przewodnictwa cieplnego drewna
H = 15 MJ kg^-1		ciepło spalania drewna
c_voda = 4 180 J kg^-1 K^-1		ciepło właściwe wody

Analiza
Ilość ciepła, która przenikać będzie przez jednorodne ściany (w tym przypadku wszelkie niejednorodności typu okna i drzwi pomijamy), jest wprost proporcjonalna do pola powierzchi ścian, czasu i różnicy temperatur wewnątrz i na zewnątrz (przy założeniu, że tę różnicę utrzymujemy jako stałą), zaś odwrotnie proporcjonalna do grubości warstwy drewna (ścian). Dla jednorodnego materiału określamy współczynnik przewodnictwa cieplnego. Im jest on większy, tym lepiej przechodzi ciepło. Mamy więc wszystkie dane, aby określić ilość ciepła przechodzącego przez ściany w ciągu doby.

Aby dzięki ogrzewaniu utrzymać stałą temperaturę, taką ilość ciepła w ciągu doby musimy dostarczać. Do określenia ilości potrzebnego drewna wykorzystamy znajomość jego ciepła spalania, tj. ilości ciepła otrzymywanego po spaleniu 1 kg drewna.

Z kolei przepływ wody w grzejniku określimy zakładając, że potrzebne do utrzymania stałej temperatury w domku ciepło oddaje woda przy ochładzaniu. Ciepło oddane zależy bowiem od różnicy temperatury wody wpływającej i wypływającej.
Rozwiązanie
a) Zapiszmy wzór na przepływ ciepła:
\[Q=\lambda \frac{S \tau}{d} \Delta t,\]
gdzie λ to współczynnik przewodnictwa ciepła, S pole powierzchni ścian, które obliczymy jako
\[S=(2a+2b)h,\]
d to grubość ścian, τ czas, a Δt = t₂ – t₁ różnica temperatur wewnątrz i na zewnątrz domku.

Po podstawieniu otrzymamy wzór i dalej wartość:
\[Q=\lambda\frac{\left(2a+2b\right)h\tau}{d}\left(t_2-t_1\right)\] \[Q=0{,}15\cdot\frac{\left(2\cdot{10}+2\cdot{7}\right)\cdot3{,}5\cdot{86400}}{0{,}5}\cdot\left[18-(-10)t_1\right]\,\mathrm{J}\] \[Q\,\dot{=}\,8{,}6\cdot{10^{7}}\,\mathrm{J}=86\,\mathrm{MJ}\]
b) Dzięki spaleniu drewna o masie m uzyskamy ciepło w ilości Hm. Na ogrzanie domku wykorzystamy tylko η = 30 % tego ciepła (taka jest sprawność pieca). Ciepło wykorzystane na ogrzanie domku musi się równać ciepłu, które ucieka, a więc
\[Q=\eta Hm,\]
Stąd otrzymamy i obliczymy szukaną masę drewna m:
\[m=\frac{Q}{\eta H}=\frac{86\,\mathrm{MJ}}{0{,}3\cdot{15}\,\mathrm{MJ\cdot kg^{-1}}}\,\dot{=}\,19\,\mathrm{kg}\]
c) Zacznijmy od przypomnienia związku między jednostkami energii:
\[1\,\mathrm{kWh}=1\,\mathrm{kWh}\cdot1\,\mathrm{h}=1000\,\mathrm{W}\cdot\,3600\,\mathrm{s}=3{,}6\cdot{10^6}\,\mathrm{Ws}=3{,}6\,\mathrm{MJ}\]
Z tego związku wynika, że za 3,6 MJ energii elektrycznej zapłacimy 0,40 zł. To oznacza, że za ogrzewanie elektryczne płacilibyśmy każdego dnia
\[\frac{86}{3{,}6}\cdot0{,}40\, zl = 9{,}56\, zl.\]
d) Oznaczmy wartość przepływu wody przez grzejnik q_v, wtedy w czasie τ przez grzejnik przepłynie q_vτ wody. Ochładzając się, woda ta oddaje ciepło w ilości
\[Q_V=cq_V\tau \left(t_3-t_4\right).\]
Porównajmy ciepło oddane przez wodę i ciepło, które wypływa przez ściany
\[Q_V=Q\] \[c_\mathrm{voda}q_V\tau\left(t_3-t_4\right)=\lambda\frac{\left(2a+2b\right)h\tau}{d}\left(t_2-t_1\right)\]
Obliczmy szukaną wartość przepływu wody:
\[q_V=\lambda\frac{\left(2a+2b\right)h\left(t_2-t_1\right)}{c_\mathrm{voda}d\left(t_3-t_4\right)}\] \[q_V=0{,}15\cdot\frac{\left(2\cdot{10}+2\cdot{7}\right)\cdot{3{,}5}\cdot\left[18-(-10)\right]}{4180\cdot{0{,}5}\cdot\left(80-70\right)}\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}\] \[q_V\,\dot{=}\,0{,}024\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}=86\,\mathrm{kg\cdot h^{-1}}\]
Odpowiedź
Ścianami bocznymi domku w ciągu doby wypływa ciepło równe w przybliżeniu 86 MJ. Aby utrzymać stałą temperaturę, musielibyśmy spalić każdego dnia ok. 19 kg drewna. Za ogrzewanie elektryczne zapłacilibyśmy za każdą dobę 9,56 zł. Przez grzejnik musiałoby przepływać 86 litrów wody na godzinę.