Ogrzewanie kulki przy uderzeniu w drewnianą przeszkodę
Kod zadania: 1065
Ołowiana kulka o masie 20 g uderza w masywną drewnianą przeszkodę z prędkością 100 m s−1 i grzęźnie w niej. O ile wzrośnie temperatura kulki, zakładając, że pochłonie ona dwie trzecie całkowitej uwolnionej w zderzeniu energii?
Podpowiedź
Przed uderzeniem kulka miała niezerową energię kinetyczną. Po ugrzęźnięciu kulki w drewnianej przeszkodzie energia kinetyczna zmalała do zera. Zgodnie z treścią zadania przyjmiemy, że kulka pochłonęła dwie trzecie tej energii.
W jaką energię zamieniła się energia kinetyczna? W jaki sposób wpłynie to na kulkę?
Analiza
Przed uderzeniem kulka miała energię kinetyczną. Wskutek oporów i tarcia kulka się zatrzymała, jej energia kinetyczna zmalała do zera, zamieniając się w energię cieplną, w tym wewnętrzną, powodując wzrost temperatury kulki.
Z treści zadania wynika, że kulka pochłonęła dwie trzecie energii. Dzięki zwiększeniu energii wewnętrznej wzrosła temperatura kulki. Tę zmianę temperatury obliczymy znając początkową (całkowitą) energię oraz ciepło właściwe ołowiu (z tablic).
Zapis danych
m = 20 g = 0,02 kg masa ołowianej kulki v = 100 ms−1 prędkość kulki w chwili uderzenia ΔT = ? wzrost temperatury kulki po uderzeniu Z tablic:
cv = 130 J kg-1K-1 ciepło właściwe ołowiu Rozwiązanie
Określmy, jaka była początkowa energia kinetyczna Ek lecącej kulki
\[E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2\]a następnie, ile energii E kulka pochłonęła (wiemy, że były to dwie trzecie początkowej energii). Zapiszmy więc:
\[E=\frac{2}{3}E_{\mathrm{k}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{3}mv^2.\]Ta porcja energii zamieni się na energię wewnętrzną kulki, co spowoduje wzrost temperatury, tak jakby kulka pochłonęła ciepło Q. Zapiszmy związek między ciepłem a zmianą temperatury ΔT:
\[E=Q=mc_{\mathrm{v}}\mathrm{\Delta}T\]Z tego wzoru wyliczymy ΔT i podstawimy za E:
\[\mathrm{\Delta}T=\frac{E}{mc_{\mathrm{v}}}=\frac{mv^2}{3mc_{\mathrm{v}}}=\frac{v^2}{3c_{\mathrm{v}}}\]Rozwiązanie liczbowe:
\[\mathrm{\Delta}T=\frac{v^2}{3c_{\mathrm{v}}}=\frac{100^2}{3\cdot{130}}\,\mathrm{° C}\,\dot{=}\,25{,}6\,\mathrm{° C}\]Odpowiedź
Temperatura kulki wzrośnie o ok. 25,6 °C.
