Prawo Hooke'a a rozszerzalność termiczna
Kod zadania: 1072
Drut stalowy rozgrzany do temperatury 100 °C rozciągnięto pomiędzy dwoma stałymi zaciskami. Temperatura otoczenia wynosi 20 °C.
a) Czy drut można bezpiecznie (bez uszkodzenia, tj. zerwania) ochłodzić do temperatury otoczenia?
b) Przy jakiej najwyższej temeraturze można rozciągnąć ten drut, aby po ochłodzeniu do temperatury otoczenia nie nastąpiło jego zerwanie?
Mimo że nie do końca zgadza się to z rzeczywistością, zakładamy że następuje odkształcenie sprężyste drutu.
Podpowiedź
Zastanów się, co się dzieje ze stalowym drutem przy jego ochładzaniu i co się stanie, gdy jego oba końce przytwierdzimy na stałe.
Analiza
Przy ochładzaniu drutu następuje jego kurczenie. Ponieważ jest on na końcach przytwierdzony na stałe, długość nie podlega zmianie, ale następuje naprężanie zgodnie z prawem Hooke'a.
Wyrażenie na zależność naprężenia od temperatury otrzymamy podstawiając prawo rozszerzalności termicznej do prawa Hooke'a.
To, czy drut ulegnie zerwaniu, stwierdzimy porównując wartość naprężenia z wytrzymałością na zerwanie. Jeśli naprężenie będzie większe, drut ulegnie zerwaniu i odwrotnie.
W drugiej części określimy temperaturę początkową, dla której po ochłodzeniu do temperatury otoczenia naprężenie będzie równe wytrzymałości na zerwanie.
Zapis danych
t0 = 100 °C początkowa temperatura drutu tp = 20 °C temperatura otoczenia σ = ? naprężenie drutu po ochłodzeniu tmax = ? maksymalna temperatura Z tablic:
σp = 5,0·108 Pa wytrzymałość na zerwanie stali E = 21,0·1010 Pa moduł Younga dla stali α = 1,2·10−5 K−1 współczynnik rozszerzalności termicznej stali Rozwiązanie
Przy ochładzaniu powinno nastąpić kurczenie drutu, jednak wskutek umocowania go na stałe nie jest to możliwe. Wobec tego wraz ze spadkiem temperatury następuje wzrost naprężenia zgodnie z prawem Hooke'a.
Z prawa Hooke'a otrzymamy zależność naprężenia σ od temperatury t:
\[\sigma = E\frac{\mathrm{\Delta} l}{l_{0}}=E\frac{l_{0} \alpha (t_{0}-t)}{l_{0}} = E \alpha (t_{0}-t),\]gdzie E to moduł Younga dla stali, α to współczynnik rozszerzalności termicznej stali, a t0 to temperatura początkowa drutu.
a) Drut ulegnie zerwaniu, jeśli naprężenie, pojawiające się przy ochładzaniu drutu od temperatury początkowej t0 do temperatury otoczenia tp, będzie większe od wytrzymałości na zerwanie.
Naprężenie określimy według wzoru:
\[\sigma = E \alpha (t_{0}-t_{p})\]b) Dla szukanej temperatury tmax następuje wyrównanie naprężenia z wytrzymałością na zerwanie σp w momencie, gdy drut ochłodzi się do temperatury otoczenia tp. To oznacza, przez analogię do wzoru uzyskanego w punkcie a) że możemy zapisać:
\[\sigma_{p} = E \alpha (t_{max}-t_{p}),\]z którego określimy szukaną temperaturę tmax:
\[t_{max}-t_{p} = \frac{\sigma_{p}}{E \alpha},\] \[t_{max} = t_{p}+\frac{\sigma_{p}}{E \alpha}.\]Rozwiązanie liczbowe
a)
\[\sigma = E \alpha (t_{0}-t_{p}) = 21{\cdot} 10^{10}\cdot 1{,}2{\cdot} 10^{-5}\cdot \left( 100-20 \right) \, \mathrm{Pa} \dot{=} 2{\cdot} 10^{8}\, \mathrm{Pa}\] \[\sigma\, <\, \sigma_{p}\]b)
\[t_{max} = t_{p}+\frac{\sigma_{p}}{E \alpha} = \left(20+\frac{5 {\cdot} 10^{8}}{21 {\cdot} 10^{10} \cdot 1{,}2 {\cdot} 10^{-5}}\right)\, \mathrm{^{\circ}C}\] \[t_{max} \dot{=} 218{,}4\,\mathrm{^{\circ}C}\]Odpowiedź
a) Naprężenie drutu jest mniejsze od wytrzymałości na zerwanie. Drut nie ulegnie zerwaniu.
b) Drut może być rozciągnięty przy maksymalnej temperaturze 218 °C.
