Współczynnik rozszerzalności cieplnej rtęci

Kod zadania: 1066

Zbiornik z kapilarą napełniono po brzegi w temperaturze 0 °C rtęcią o objętości 400 cm3. Po ogrzaniu do temperatury 100 °C wyciekło 6,228 cm3 rtęci. Ile wynosi współczynnik rozszerzalności objętościowej rtęci?

  • Podpowiedź – czym jest współczynnik rozszerzalności

    Współczynnik rozszerzalności objętości obliczamy na podstawie pomiaru objętości w różnych temperaturach. W naszym zadaniu określono zmianę objętości cieczy w stosunku do objętości zbiornika, która też może ulec zmianie wskutek zmian temperatury.

  • Analiza

    Przede wszystkim zwróćmy uwagę, że w naszym zadaniu współczynnik rozszerzalności rtęci będziemy określać wykorzystując naczynie, które samo w sobie też podlega termicznej rozszerzalności.

    Wiedząc, ile tręci z naczynia wyciekło przy zwiększeniu temperatury do 100 °C, możemy określić współczynnik rozszerzalności rtęci w danym naczyniu. Skorzystamy ze wzoru przedstawiającego prawo rozszerzalności objętościowej.

  • Zapis danych

    t0 = 0 °C początkowa temperatura
    V0 = 400 cm3 początkowa objętość rtęci
    t1 = 100 °C temperatura końcowa
    ΔV = 6,228 cm3 objętość rtęci, która wyciekła
    βz = ? współczynnik rozszerzalności rtęci
  • Rozwiązanie

    Skorzystamy z prawa rozszerzalności objętościowej

    \[ \mathrm{\Delta}V=\beta_{\mathrm{z}} V_0(t_1-t_0), \]

    gdzie V0 to początkowa objętość cieczy, t1 − t0 różnica temperatur, a ΔV przyrost objętości cieczy.

    Stąd wyliczamy βz 

    \[\beta_{\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{\Delta}V}{V_0\left(t_1-t_0\right)}\,.\]

    Rozwiązanie liczbowe:

    Objętości ΔV i V0 możemy wyrazić w cm2, jednostka nie ma wpływu na wynik końcowy:

    \[\beta_{\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{\Delta}V}{V_0\left(t_1-t_0\right)}=\frac{6{,}228}{400\left(100-0\right)}\,{°\mathrm{C}^{-1}}=156\cdot{10^{-6}}{°\mathrm{C}^{-1}}\]
  • Odpowiedź

    Współczynnik rozszerzalności objętościowej rtęci w warunkach zadania wynosi 156·10−6 °C−1.

  • Komentarz

    Uzyskana wartość współczynnika rozszerzalności rtęci różni się od tabelarycznej m.in. z powodu warunków wykonywania doświadczenia. Jak wiemy, rozszerzalności termicznej podlega nie tylko sama rtęć, ale też i naczynie, w którym się ona znajduje. Pokażemy, że dla żelaznego naczynia otrzymalibyśmy wartość bardzo bliską obliczonej przed chwilą.

    Na zmianę objętości rtęci zapiszemy wzór:

    \[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{r}}=\beta_{\mathrm{r}} V_0\left(t_1-t_0\right), \]

    gdzie βr to współczynnik rozszerzalności rtęci, V0 objętość w temperaturze początkowej, a t1 − t0 różnica temperatur.

    Na zmianę objętości naczynia zapiszemy wzór:

    \[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{n}}=\beta_{\mathrm{n}} V_0\left(t_1-t_0\right), \]

    gdzie βn współczynnik rozszerzalności objętościowej żelaza, V0 objętość wnętrza naczynia w temperaturze początkowej, a t1 − t0 różnica temperatur.

    Na początku rtęć miała objętość taką samą jak wnętrze naczynia, czyli V0. Odejmując od siebie równania, otrzymamy:

    \[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{r}}-\mathrm{\Delta}V_{\mathrm{n}}=\beta_{\mathrm{r}} V_0\left(t_1-t_0\right)-\beta_{\mathrm{n}} V_0(t_1-t_0), \] \[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{r}}-\mathrm{\Delta}V_{\mathrm{n}}=\left(\beta_{\mathrm{r}}-\beta_{\mathrm{n}}\right) V_0\left(t_1-t_0\right). \]

    Lewa strona równania mówi nam, jaka objętość rtęci wycieknie z naczynia, a po prawej stronie mamy zamiast jednego współczynnika różnicę dwóch.

    Zauważmy, że:

    \[ \beta_{\mathrm{z}}=\beta_{\mathrm{r}}-\beta_{\mathrm{n}}. \]

    Po podstawieniu wartości z tablic:

    βr = 2·10−4 °C−1

    βn = 36·10−6 °C−1

    otrzymamy:

    \[ \beta_{\mathrm{z}}=\beta_{\mathrm{r}}-\beta_{\mathrm{n}}=\left(2\cdot{10^{-4}}-36\cdot{10^{-6}}\right)\,\mathrm{°C^{-1}}=1{,}64\cdot{10^{-4}}\,\mathrm{°C^{-1}}. \]

    Tablicowa i zmierzona wartość nie różnią się więc bardziej niż o ok. 5%.

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna