Sprawność cyklu Carnota

Kod zadania: 1060

Silnik Carnota pracuje ze sprawnością 40 %. Jak zmienić temperaturę źródła ciepła, aby sprawność wzrosła do 50 %? Temperatura chłodnicy pozostanie bez zmian: 9 °C.

  • Podpowiedź

    Sprawność cyklu Carnota określa wzór

    \[\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\]

    gdzie T1 to temperatura źródła ciepła, a T2 temperatura chłodnicy.

  • Rozwiązanie

    Zapiszemy wzory na początkową sprawność silnika Carnota i sprawność po zmianie temperatury źródła ciepła. Ze wzorów tych wyznaczymy początkową i szukaną nową temperaturę źródła ciepła. Zmianę temperatury określimy odejmując od siebie te dwie wielkości.

  • Zapis danych

    η1 = 40 % = 0,4 początkowa sprawność cyklu Carnota
    η2 = 50 % = 0,5 sprawność po zmianie temperatury źródła ciepła
    t2 = 9 °C => T2 = 282 K temperatura chłodnicy
    ΔT1 = ? zmiana temperatury źródła ciepła
  • Rozwiązanie

    Najpierw zapiszmy wzory na sprawność początkową η1 cyklu Carnota oraz sprawność η2 po zmianie temperatury źródła ciepła:

    \[\eta_1=\frac{T_1-T_2}{T_1}, \qquad \qquad \qquad \eta_2=\frac{T_1^*-T_2}{T_1^*},\]

    gdzie T1 to początkowa temperatura źródła ciepła, T1* nowa temperatura źródła ciepła i T2 temperatura chłodnicy.

    Następnie z tych wyrażeń wyznaczymy nieznane temperatury T1T1*:

    \[T_1=\frac{T_2}{1-\eta_1}, \qquad \qquad \qquad T_1^*=\frac{T_2}{1-\eta_2}.\]

    Szukana zmiana temperatury ΔT1 źródła ciepła będzie więc dana wzorem

    \[\Delta T_1=T_1^*-T_1\] a po podstawieniu \[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}.\]
  • Rozwiązanie liczbowe

    \[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}=\left(\frac{282}{1-0{,}5}-\frac{282}{1-0{,}4}\right)\,\mathrm{K} \,\dot{=} \,94\,\mathrm{K}\]
  • Odpowiedź

    Temperaturę źródła ciepła musimy zwiększyć o 94 K, tj. o 94 °C.

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna