Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Sprawność cyklu Carnota

Kod zadania: 1060

• Podpowiedź

  Sprawność cyklu Carnota określa wzór

  \[\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\]

  gdzie T₁ to temperatura źródła ciepła, a T₂ temperatura chłodnicy.

• Rozwiązanie

  Zapiszemy wzory na początkową sprawność silnika Carnota i sprawność po zmianie temperatury źródła ciepła. Ze wzorów tych wyznaczymy początkową i szukaną nową temperaturę źródła ciepła. Zmianę temperatury określimy odejmując od siebie te dwie wielkości.

• Zapis danych

  η1 = 40 % = 0,4	początkowa sprawność cyklu Carnota
  η2 = 50 % = 0,5	sprawność po zmianie temperatury źródła ciepła
  t2 = 9 °C => T2 = 282 K	temperatura chłodnicy
  ΔT1 = ?	zmiana temperatury źródła ciepła

• Rozwiązanie

  Najpierw zapiszmy wzory na sprawność początkową η₁ cyklu Carnota oraz sprawność η₂ po zmianie temperatury źródła ciepła:

  \[\eta_1=\frac{T_1-T_2}{T_1}, \qquad \qquad \qquad \eta_2=\frac{T_1^*-T_2}{T_1^*},\]

  gdzie T₁ to początkowa temperatura źródła ciepła, T₁^* nowa temperatura źródła ciepła i T₂ temperatura chłodnicy.

  Następnie z tych wyrażeń wyznaczymy nieznane temperatury T₁ i T₁^*:

  \[T_1=\frac{T_2}{1-\eta_1}, \qquad \qquad \qquad T_1^*=\frac{T_2}{1-\eta_2}.\]

  Szukana zmiana temperatury ΔT₁ źródła ciepła będzie więc dana wzorem

  \[\Delta T_1=T_1^*-T_1\] a po podstawieniu \[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}.\]

• Rozwiązanie liczbowe

  \[\Delta T_1=\frac{T_2}{1-\eta_2}-\frac{T_2}{1-\eta_1}=\left(\frac{282}{1-0{,}5}-\frac{282}{1-0{,}4}\right)\,\mathrm{K} \,\dot{=} \,94\,\mathrm{K}\]

• Odpowiedź

  Temperaturę źródła ciepła musimy zwiększyć o 94 K, tj. o 94 °C.