Dieta na lodzie
Kod zadania: 599
Woda nie dostarcza żadnej energii użytkowej człowiekowi. Aby ogrzać i stopić lód ludzki organizm zużywa energię, a więc dostarcza ciepło przez co można stracić zbędne kilogramy tłuszczu. Ile kostek lodu do masie 50 g i temperaturze -20 °C trzeba by połknąć, aby pozbyć się pięciu kilogramów tłuszczu? Do spalenia jednego grama tłuszczu w procesie przemiany materii w organizmie człowieka wydziela się ciepło równe 38 kJ.
Podpowiedź
Energia uwolniona w wyniku spalania tkanki tłuszczowej jest wykorzystywana do ogrzewania wody oraz do stopienia lodu.
Zapis danych
m1 = 50 g = 0,050 kg masa kostki lodu; tL = -20 °C temperatura lodu mt = 5 kg masa tkanki tłuszczowej, która jest do spalania; H = (38 kJ)/(1 g) = 38×106Jkg-1 energia wyzwolona w wyniku spalania tłuszczu; N = ? liczba kostek lodu. Inne przydatne wartości:
tT = 36,6 °C temperatura ciała; tt = 0 °C temperatura topnienia lodu; cL = 2,1 kJkg-1K-1 = 2100 Jkg-1K-1 ciepło właściwe lodu; lt = 334 kJkg-1 =3,34×105 Jkg-1 ciepło topnienia lodu; cV = 4,18 kJkg-1K-1 = 4180 Jkg-1K-1 ciepło właściwe wody. Analiza
Po pierwsze należy ustalić, ile energii jest potrzebnej do spalenia 5 kg tłuszczu. Energia do tego potrzebna będzie równa ciepłu, które należy dostarczyć do stopienia kostki lodu. Na to ciepło składa się ciepło topnienia lodu, ciepło potrzebne do tego, aby lód się całkowicie stopił i ciepło potrzebne do ogrzania wody do temperatury ludzkiego ciała. Należy w zadaniu obliczyć masę lodu potrzebnego do spalenia 5 kg tłuszczu.
Rozwiązanie
Energia wyzwolona w wyniku spalenia tłuszczu o masie mt dana jest wzorem:
\[E=Hm_t.\]Ciepła, które jesteśmy w stanie dostarczyć nieznanej masie lodu mL, które stopią ten lód i ogrzeją do temperatury ciała to:
ciepło potrzebne do ogrzania lodu: \[Q_1 = c_L m_L (t_t - t_L)\]ciepło potrzebne do stopienia lodu: \[L_t = l_t m_L\]ciepło potrzebne do ogrzania wody: \[Q_2 = c_V m_L(t_T - t_t)\]Razem: \[Q= c_L m_L (t_t - t_L) +l_t m_L + c_V m_L(t_T - t_t)=\]\[\ \, \ = m_L [c_L (t_t-t_L) + l_t + c_V (t_T - t_t).\]Energia wytwarzana w wyniku spalania tłuszczu jest zużywana na stopienie lodu i ma postać:
\[E=Q,\]\[hm_{t}=m_L [c_L (t_t-t_L) +l_t + c_V (t_T - t_t)].\]Przekształcając wzór mamy:
\[m_L = \frac{Hm_t}{c_L (t_t-t_L) + l_t + c_V (t_T - t_t)}\]\[m_L = \frac{38 \cdot {10^6} \cdot {5}}{2100 \cdot [0-(-20)] + 3{,}34 \cdot {10^5} + 4180 \cdot (36{,}8 - 0)}\,\mathrm kg \,\dot{=}\, \]\[\ \, \ \,\dot{=}\, 360 \,\mathrm kg \]Wreszcie, należy ustalić liczbę kostek lodu:
\[N = \frac{m_L}{m_l}=\frac{Hm_t}{m_l[c_L (t_t-t_L) + l_t + c_V (t_T - t_t)]}\]\[N\, \dot{=}\, 7200\]Odpowiedź
Podczas korzystania z diety na lodzie służącej spaleniu pięciu kilogramów tłuszczu należy spożyć 7200 kostek, co odpowiada masie 360 kg lodu.
