Spadający swobodnie kamień

Kod zadania: 1097

Spadający swobodnie kamień ma w pewnym położeniu prędkość chwilową 5 m·s−1, a w innym, niżej położonym miejscu, prędkość ta wynosi 8 m·s−1. W ciągu jakiego czasu kamień pokona drogę od jednego położenia do drugiego i jaka jest odległość tych punktów?

  • Zapis danych

    v1 = 5 m·s−1 prędkość kamienia w pierwszym położeniu
    v2 = 8 m·s−1 prędkość kamienia w niższym położeniu
    t = ? (s) czas, w którym kamień pokona odcinek od pierwszego położenia do drugiego
    s = ? (m) odległość obu punktów na drodze
    Z tablic:
    g = 9,81 m·s−2 przyspieszenie grawitacyjne
  • Podpowiedź 1: Czas przelotu z pierwszego położenia do drugiego

    Jakim ruchem porusza się kamień? Przypomnij sobie zależność szybkości od czasu w tym ruchu.

    Jak obliczysz czas przelotu kamienia z jednego położenia do drugiego? Czy znasz wszystkie wielkości potrzebne do obliczeń?

  • Podpowiedź 2 : Odległość obu położeń

    Wiemy, że kamień spada swobodnie. Jak można określić odległość dwóch położeń, czyli drogę, którą pokonał pomiędzy pierwszym a drugim położeniem?

    Do obliczeń wykorzystaj wzory (1), (2) z rozwiązania poprzedniej podpowiedzi.

  • PEŁNE ROZWIĄZANIE

    Czas przelotu z położenia 1 do położenia 2

    Kamień porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

    Zależność prędkości od czasu w takim przypadku określa wzór: \(v(t) \,=\, gt\)

    Rysunek przedstawiający opisaną w zadaniu sytuację

    Przedział czasu t, w którym kamień przemieści się z jednego położenia do drugiego, określimy jako różnicę czasów, w których kamień był w położeniach 2 i 1 (patrz rysunek), czyli:

    \[t\,=\,t_2\,-\,t_1\]

     

    Z treści zadania wiemy, że chodzi o spadek swobodny. Prędkość w położeniu 1 wynosi:

    \[v_1 \,=\, gt_1\,.\]

    Stąd:

    \[t_1 \,=\, \frac{v_1}{g}\,.\tag{1}\]

    Prędkość w położeniu 2 wynosi:

    \[v_2 \,=\, gt_2\,.\]

    Stąd:

    \[t_2 \,=\, \frac{v_2}{g}\,.\tag{2}\]

    Na czas t otrzymujemy:

    \[t\,=\,\frac{v_2}{g}\,-\,\frac{v_1}{g}\,=\,\frac{v_2\,-\,v_1}{g}\,.\]

    Po podstawieniu danych liczbowych:

    \[t\,=\,\frac{8\,-\,5}{9{,}81}\,\mathrm{s}\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,.\]

     

    Odległość położeń 1 i 2

    Zależność drogi od czasu przy spadaniu swobodnym (ruch jednostajnie przyspieszony) opisuje zależność:

    \[s \,=\, \frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]

    Odległość położeń 1 i 2 określimy jako różnicę drogi, którą kamień pokonał do położenia 2 i drogi, którą pokonał do położenia 1.

    \[s\,=\,s_2\,-\,s_1\,=\,\frac{gt_2^{2}}{2}\,-\,\frac{gt_1^{2}}{2}\,=\,\frac{g}{2}\,\left(t_2^{2}\,-\,t_1^{2}\right)\]

    Za t2 i t1 podstawimy ze wzorów (1) i (2):

    \[s\,=\,\frac{g}{2}\,\left(\frac{v_2^{2}}{g^{2}}\,-\,\frac{v_1^{2}}{g^{2}}\right)\,=\,\frac{1}{2g}(v_2^{2}\,-\,v_1^{2})\]

    Po podstawieniu danych liczbowych:

    \[s\,=\,\frac{1}{2{\cdot} 9{,}81}\cdot(8^{2}-5^{2})\,\mathrm{m}\,\dot=\,2\,\mathrm{m}\,.\]
  • Odpowiedź

    Kamień dotrze z pierwszego do drugiego położenia w czasie

    \[t\,=\,\frac{v_2\,-\,v_1}{g}\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,.\]

    Odległość tych dwóch położeń wynosi

    \[s\,=\,\frac{1}{2g}(v_2^{2}\,-\,v_1^{2})\,\dot=\,2\,\mathrm{m}\,.\]
Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna
Task requires extra constants