Kamyk na skalnej półce

Kod zadania: 1098

Kamyk zsuwa się ze skalnej półki, położonej na wysokości h nad powierzchnią ziemi, i spada swobodnie. Podziel wysokość h na n części tak, aby czas spadania kamyka w każdej z nich był jednakowy.

Zaniedbujemy opór powietrza.

Rozwiąż zadanie liczbowo dla: h = 245 m, n = 5.

  • Podpowiedź 1: Oznaczenia

    Wprowadźmy oznaczenia na odcinki, na które podzielimy wysokość h, oraz na czasy spadania w poszczególnych częściach (jednakowe).

  • Podpowiedź 2 : Droga spadania

    Poszczególne odcinki składają się na całkowitą drogę, którą pokonuje kamyk spadając swobodnie ze skalnej półki.

    Jaki jest związek między drogą w spadku swobodnym a czasem spadku? Zapisz odpowiednie równanie dla pierwszego odcinka, następnie dla dwóch pierwszych odcinków, a potem dla n odcinków.

  • Podpowiedź 3: Czas spadania

    Ze wzoru (3) z rozwiązania poprzedniej podpowiedzi można łatwo określić czas spadania t0 dla poszczególnych odcinków (jednakowy).

  • Podpowiedź 4: Rozdzielenie drogi spadania na części

    Wykorzystaj wzór (4) na czas spadania z rozwiązania poprzedniej podpowiedzi i określ jednakowe odcinki drogi xi na podstawie wysokości spadania h dla n części.

  • PEŁNE ROZWIĄZANIE

    Poszczególne odcinki spadku kamyka oznaczymy:  \(x_1, x_2,..., x_n \,.\)

    Czas spadania, jednakowy dla każdego odcinka, oznaczmy t0.

     

     

    Kamyk na skalnej półce

     

     

    Poszczególne odcinki to fragmenty drogi, którą kamyk pokonuje spadając swobodnie ze skalnej półki.

     

    Ich sumę zapiszemy jako: \(h=x_1+x_2+...+x_n\).

    Zachodzi też:

    \[x_1=\frac{gt_0^{2}}{2}\,,\tag{1}\] \[x_1+x_2=\frac{g(2t_0)^{2}}{2}\,,\tag{2}\] \[h=x_1+x_2+...+x_n=\frac{g(nt_0)^{2}}{2}\,.\tag{3}\]

    Czas spadania t0 dla poszczególnych odcinków obliczamy ze wzoru (3):

    \[t_0^{2}=\frac{2h}{g}\frac{1}{n^{2}}\,.\tag{4}\]

     

    Podstawmy wyrażenie na t0 do wzoru (1) dla 1. odcinka:

    \[x_1=\frac{gt_0^{2}}{2}=\frac{h}{n^{2}}\,.\]

    Drugi odcinek określimy ze wzoru (2), ponownie podstawiając za t0:

    \[x_2=\frac{g(2t_0)^{2}}{2}-x_1=h\left(\frac{2}{n}\right)^{2}-h\left(\frac{1}{n}\right)^{2}=\frac{3h}{n^{2}}\,.\]

    Dla i-tego odcinka zapiszemy:

    \[x_i=\frac{1}{2}g(it_0)^{2}-\frac{1}{2}g[(i-1)t_0]^{2}=\frac{gt_0^{2}}{2}(2i-1)=\frac{g}{2}.\frac{2h}{g}.\frac{1}{n^{2}}(2i-1)\,,\] \[x_i=\frac{2i-1}{n^{2}}h\,.\]

    Podstawiając dane liczbowe:

    dla: \(i=1{,}2,...,5\),\(h=245\,\mathrm{m} \), \(n=5\) otrzymamy:

     

    \[x_1=\frac{245}{25}\,\mathrm{m}=9{,}8\,\mathrm{m}\,,\] \[x_2=\frac{3.245}{25}\,\mathrm{m}=29{,}4\,\mathrm{m}\,,\] \[x_3=\frac{5.245}{25}\,\mathrm{m}=49{,}0\,\mathrm{m}\,,\] \[x_4=\frac{7.245}{25}\,\mathrm{m}=68{,}6\,\mathrm{m}\,,\] \[x_5=\frac{9.245}{25}\,\mathrm{m}=88{,}2\,\mathrm{m}\,.\]

     

  • Odpowiedź

    Na poszczególne odcinki spadku kamyka ze skalnej półki otrzymujemy wyrażenia:

    \[x_1=\frac{h}{n^{2}}\,,\] \[x_2=\frac{3h}{n^{2}}\,,\] \[x_i=\frac{2i-1}{n^{2}}h\,.\]

     

    Dla \(i=1{,}2,...,5\); \(h=245\,\mathrm{m} \); \(n=5\) otrzymamy:

    \[x_1=9{,}8\,\mathrm{m}\,,\] \[x_2=29{,}4\,\mathrm{m}\,,\] \[x_3=49{,}0\,\mathrm{m}\,,\] \[x_4=68{,}6\,\mathrm{m}\,,\] \[x_5=88{,}2\,\mathrm{m}\,.\]
Poziom: Poziom 1 – Gimnazjum