Dziewczynka ciągnie sanki po zaśnieżonym chodniku

Kod zadania: 883

Dziewczynka ciągnie sanki o masie 20 kg po płaskim zaśnieżonym chodniku. Szybkość sanek jest stała. Współczynnik tarcia dynamicznego między płozami a chodnikiem wynosi 0,1; kąt pomiędzy płozami a chodnikiem wynosi 30°. Wyznacz:

1) przyspieszenie sanek

2) wartość siły, którą dziewczynka działa na sanki

3) wartość siły nacisku, którą sanki działają na chodnik

4) wartość siły tarcia działającej na sanki

Ilustracja do zadania
  • Zapis danych

    m = 20 kg masa sanek
    fd = 0,1 współczynnik tarcia dynamicznego między płozami a chodnikiem
    φ = 30° kąt pomiędzy płozami a chodnikiem
    a = ? (m s-2) przyspieszenie sanek
    T = ? (N) wartość siły, którą dziewczynka działa na sanki
    N = ? (N) wartość siły nacisku sanek na chodnik
    Ft = ? (N) wartość siły tarcia działającej na sanki
  • Podpowiedź 1 - przyspieszenie sanek, siły działające na sanki

    Zastanów się, co oznacza warunek stałej szybkości - jakie to ma konsekwencje, jeśli chodzi o przyspieszenie (a więc i siłę wypadkową). Naszkicuj ilustrację, zaznaczając na niej wszystkie siły działające na sanki. Wykorzystaj 2. zasadę dynamiki Newtona (\(\mathrm{\Sigma}\vec{F}\,=\,m\vec{a}\)) i napisz równanie ruchu dla sanek.

  • Podpowiedź 2 - równanie ruchu skalarnie

    Równanie ruchu powinniśmy zapisać skalarnie. Wprowadźmy układ współrzędnych, znajdźmy składowe sił w kierunkach osi układu i zapiszmy dla tych składowych równania ruchu.

  • Podpowiedź 3 - wartość siły nacisku, siła ciągu

    Zastanów się, od czego zależy wartość siły ciągu i jak możemy ją wyznaczyć.

  • Podpowiedź 4 - wartość siły reakcji

    Siła, którą sanki naciskają na chodnik, jest zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona równa sile, którą chodnik działa na sanki. Wartość siły N, którą chodnik działa na sanki, została już określona w równaniu (5):

    \[N \,=\, mg - T\sin{\varphi}\tag{5}\]

    Trzeba jeszcze podstawić wyrażenie na siłę ciągu.

  • Podpowiedź 5 - wartość siły tarcia

    Wartość siły tarcia Ft została już określona wzorem (4):

    \[F_{t} \,=\, Nf_{d}\tag{4}\]

    Wystarczy podstawić wyrażenie na siłę nacisku.

  • ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĘŚCI 1 - przyspieszenie sanek

    Ponieważ prędkość sanek jest stała, nie zmienia się w czasie, zgodnie z definicją przyspieszenie sanek jest więc równe zeru (\(\vec{a} \,=\, 0\)).

    Odpowiedź: Przyspieszenie sanek a wynosi zero.

  • ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĘŚCI 2 - wartość siły ciągu

    Siły działające na sanki:

    Siły działające na sanki

    \(\vec{F}_{G} \)...siła ciężkości

    \(\vec{N} \)...siła reakcji, którą chodnik działa na sanki

    \(\vec{T}\)...poszukiwana siła ciągu, którą dziewczynka ciągnie sanki po chodniku

    \(\vec{F}_{t}\)...sila tarcia sanek o chodnik

    Równanie ruchu dla sanek:

    \[\vec{F}_{G}+\vec{N}+\vec{T}+\vec{F}_{t}\,=\,m\vec{a}\,=\,0\tag{1}\]

    m…masa sanek

    \(\vec{a}\)…przyspieszenie sanek

    Ponieważ prędkość \(\vec{v}\) jest stała, zgodnie z definicją przyspieszenie \(\vec{a}\) wynosi zero, a wypadkowa sił działających na sanki również wynosi zero.

    Siły działające na sanki (ze współrzędnymi)

    Wprowadźmy układ współrzędnych i równanie ruchu (1) zapiszmy skalarnie. Kierunek osi x przyjmiemy zgodnie z kierunkiem ruchu, zaś osi y prostopadle - zgodnie z ilustracją.

    Dla osi x:

    \[ T\cos{\varphi} - F_{t} \,=\, 0 \tag{2}\]

    Dla osi y:

    \[N + T\sin{\varphi} - F_G \,=\, 0 \tag{3}\]

    Siłę tarcia obliczymy na podstawie siły nacisku sanek na chodnik, która z kolei zgodnie z 3. zasadą dynamiki Newtona jest równa sile reakcji, z jaką chodnik działa na sanki.

    Siłę tarcia Ft zapiszemy więc:

    \[F_t = Nf_d\tag{4}\]

    Siłę reakcji N obliczymy z równania (3):

    \[N \,=\, mg - T\sin\varphi\tag{5}\]

    Z równań (4) i (5):

    \[F_{t} \,=\, f_{d}\left(mg - T\sin\varphi\right)\tag{6}\]

    Po podstawieniu równania (6) do równania (2) możemy składowe sił dla osi x zapisać jako:

    \[T\cos\varphi - f_{d}\left(mg - T\sin\varphi\right) \,=\, 0\tag{7}\]

    Z równania (7) pozostaje wyznaczyć siłę ciągu:

    \[T \,=\, \frac{mgf_{d}}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\tag{8}\]

    Do równania (8) podstawiamy dane:

    \[T \,=\, \frac{20\cdot{9{,}81}\cdot{0{,}1}}{\cos 30^{\circ} + 0{,}1\cdot\sin30^{\circ}}\,\mathrm{N} \,=\,\frac{19{,}62}{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0{,}1\cdot{0{,}5}}\,\mathrm{N}\] \[T\,=\,21{,}4\,\mathrm{N}\]

    Odpowiedź: Wartość siły ciągu T, z jaką dziewczynka ciągnie sanki, wynosi 21,4 N.

  • ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĘŚCI 3 - wartość siły reakcji

    Siła reakcji N, którą chodnik działa na sanki, dana jest wzorem (5):

    \[N \,=\, mg - T\sin\varphi\tag{5}\]

    Podstawmy za T wyrażenie ze wzoru (7):

    \[N \,=\, mg - \frac{mgf_{d}}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\sin\varphi \,=\, mg \left(1 - \frac{f_{d}\sin\varphi}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\right)\,=\,\] \[\,=\, mg\left(\frac{\cos\varphi}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\right) \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_{d}\tan\varphi}\right)\tag{9}\]

    Podstawmy dane do równania (9):

    \[N \,=\, 20{\cdot}9{,}81\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\tan30^{\circ}}\right)\,\textrm{N}\,=\, 196{,}2\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\,\mathrm{N}\] \[N\,=\,185{,}5\,\mathrm{N}\]

    Odpowiedź: Wartość siły reakcji N, którą chodnik działa na sanki, wynosi 185,5 N.

  • ROZWIĄZANIE LICZBOWE CZĘŚCI 4 - wartość siły tarcia

    Siła tarcia Ft dana jest wyrażeniem (4):

    \[F_{t} \,=\, Nf_d\tag{4}\]

    Podstawmy do równania (4) N z równania (9), otrzymamy:

    \[F_{t} \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_d\tan{\varphi}}\right)f_d\tag{10}\]

    Do równania (10) podstawmy dane:

    \[F_t\,=\, 20\cdot {9{,}81}\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\,\tan{30^{\circ}}}\right)0{,}1\,\mathrm{N}\,=\, 19{,}62\,\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\,\mathrm{N}\] \[F_t\,=\,18{,}6\,\mathrm{N}\]

    Odpowiedź: Wartość siły tarcia Ft działającej na sanki wynosi 18,6 N.

  • PEŁNA ODPOWIEDŹ

    1) Przyspieszenie sanek a wynosi zero.

    2) Wartość siły ciągu, którą dziewczynka działa na sanki wynosi

    \[T \,=\, \frac{mgf_{d}}{\cos{\varphi} + f_{d}\sin{\varphi}}\,=\,21{,}4\,\mathrm{N}.\]

    3) Wartość siły nacisku sanek na chodnik wynosi

    \[N \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_{d}\tan{\varphi}}\right)\,=\,185{,}5\,\mathrm{N}.\]

    4) Wartość siły tarcia działającej na sanki wynosi

    \[F_{t} \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_{d}\tan{\varphi}}\right)f_{d}\,=\,18{,}6\,\mathrm{N}.\]

Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)