Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Średnia prędkość samochodu II

Kod zadania: 596

• Podpowiedź 1: Wypisanie danych, stosunek średniej prędkości

  Wyrazimy średnia prędkość przez całkowitą odległość oraz całkowity czas podróży.

• Rozwiązanie

  \(v_{p}\) - średnia prędkość samochodu,

  \(s\) - droga mierzona w jedną stronę,

  \(t_{1}\) - czas, w którym samochód wjeżdża na wzgórze,

  \(t_{2}\) - czas, w którym samochód zjeżdża ze wzgórza.

  Średnia prędkość samochodu to całkowita droga podzielona przez całkowity czas. Zatem:

  \[v_{sr} = \frac{2s}{t_{1}+t_{2}}\,\]

• Podpowiedź 2: Czas podróży

  Wyrazimy czas podróży za pomocą drogi i prędkości.

• Rozwiązanie

  Czas zajmujący wjechanie pod górę \(t_{1}\) wyrażamy jako:

  \[t_{1} = \frac{s}{v_{1}}\]

  Czas jazdy w dół \(t_{2}\) to:

  \[t_{2} = \frac{s}{v_{2}}\]

  Zatem średnia prędkość samochodu wynosi:

  \[ v_{sr} = \frac{2s}{t_{1}+t_{2}} = \frac{2s}{\frac{s}{v_{1}}+ \frac{s}{v_{2}}} = \frac{2s}{s (\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}})}= \frac{2}{\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}} \tag{1}\]

• Podpowiedź 3: Średnia prędkość samochodu

  Wyznaczymy prędkość \(v_2\).

• Rozwiązanie

  Korzystamy ze wzoru (1):

  \[ v_{sr} = \frac{2}{\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}} \]

  Mnożymy obie strony równania przez \(({\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}})\) :

  \[ v_{sr}({\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}}) = \frac{2({\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}})}{\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}} \]

  Zatem:

  \[ v_{sr}({\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}}) = 2 \]

  Mnożymy obie strony równania przez \(\frac{1}{v_{sr}}\) :

  \[ v_{sr}(\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}})\frac{1}{v_{sr}} = \frac{2}{v_{sr}} \]

  Po uproszczeniu otrzymamy:

  \[ \frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}} = \frac{2}{v_{sr}} \]

  Odejmujemy stronami wartość \(\frac{1}{v_{1}}\) :

  \[\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}-\frac{1}{v_{1}} = \frac{2}{v_{sr}}-\frac{1}{v_{1}} \]

  Zatem:

  \[\frac{1}{v_{2}} = \frac{2}{v_{sr}}-\frac{1}{v_{1}} \] \[\frac{1}{v_{2}} = \frac{2v_{1}-v_{sr}}{v_{sr}v_{1}}\] \[v_{2} = {\frac{v_{sr}v_{1}}{2v_{1}-v_{sr}}}\tag{2}\]

• Podpowiedź 4: Wartości liczbowe

  Wstawiamy wartości liczbowe do otrzymanego wzoru.

• Rozwiązanie

  a)

  \[v_{2} = {\frac{v_{sr}v_{1}}{2v_{1} - v_{sr}}}= {\frac{60\cdot{45}}{2\cdot {45} - 60}} \,\mathrm{\frac{km}{h}}= 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\]

   

  b)

  \[v_{2} = {\frac{v_{sr}v_{1}}{2v_{1} - v_{sr}}}= {\frac{90\cdot{45}}{2\cdot {45} - 90}} \,\mathrm{\frac{km}{h}}\]

  Wstawiając wartości liczbowe do wzoru okazuje się, że mianownik jest równy zero. Oznacza to, że kierowca pojazdu nie może osiągnąć średniej prędkości 90 km/h. Jak szybko nie jechałby z górki i tak nie odrobi czasu utraconego na wjazd pod górkę.

  Liczymy czas jazdy pod górkę:

  \[t_1 = {\frac{s}{v_1}} = {\frac{3500\cdot{3600}}{45\cdot {1000}}}\,\mathrm{s} = 280\,\mathrm{s}\]

  Teraz liczymy łączny czas jazdy pod górkę oraz z górki:

  \[t_1 + t_2= {\frac{2s}{v_{sr}}}= {\frac{2\cdot{3500}\cdot3600}{95\cdot {1000}}}\,\mathrm{s} =280\,\mathrm{s}\]

  Ponieważ oba czasy są takie same, więc kierowca nie ma w ogóle czasu, aby zjechać w dół w drugim przypadku.

• Odpowiedź

  a) \(v_{2} = {\frac{v_{sr}v_{1}}{2v_{1}-v_{sr}}}= 90 \rm km/h\)

  b) Kierowca nie może utrzymać takiej prędkości średniej. Nie miałby czasu, aby zjechać z górki.