Rzut pionowy w górę

Kod zadania: 1104

Z powierzchni Ziemi wystrzelono pionowo w górę pocisk artyleryjski o masie m z prędkością v1. Oblicz:

a) maksymalną wysokość h pocisku

b) prędkość vk pocisku w chwili zderzenia z ziemią

c) całkowity czas lotu pocisku tc.

Uwaga: Opór powietrza pomijamy. Pole grawitacyjne traktujemy jako jednorodne.

  • Podpowiedź 1

    Aby znaleźć maksymalną wysokość h można stosować dwa różne sposoby - czy potrafisz podać jeden z nich?

  • Podpowiedź 2: Określenie maksymalnej wysokości h z ZZEM

    Przyjmijmy na powierzchni Ziemi zerowy poziom energii potencjalnej. Jaki rodzaj energii ma pocisk w chwili, gdy opuszcza powierzchnię? Co się dzieje z energią przy osiągnięciu maksymalnej wysokości h?
  • Komentarz: Inny sposób określenia maksymalnej wysokości h

    Możemy też określić wysokość h z rozważań kinematycznych. Ruch pocisku jest ruchem jednostajnie opóźnionym (rzut pionowy w górę), jest więc opisany równaniami:

    \[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]

    \[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]

    gdzie H(t) to wysokość nad ziemią w chwili t, a v(t) prędkość w chwili t.

    W momencie t = t0, gdy pocisk osiągnie maksymalną wysokość, mamy: H(t0) = h, v(t0) = 0. Zatem:

    \[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]

    \[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]

    Z drugiego równania wyznaczamy czas t0 i podstawiamy go do pierwszego równania:

    \[t_0 = \frac{v_1}{g}\,,\]

    \[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]

  • Podpowiedź 3: Określenie prędkości vk w momencie spadku:

    Skorzystaj z ZZEM. Jaką całkowitą energię mechaniczną ma pocisk w momencie spadku? Porównaj ją z energią całkowitą na początku ruchu (tj. zaraz po wystrzeleniu).

  • Podpowiedź 4: Obliczenie całkowitego czasu tc:

    Wychodząc z równań kinematycznych dla rzutu pionowego w górę, skorzystaj z zależności opisującej wysokość nad ziemią H(t) od czasu. Jaka jest ta wysokość w chwili spadku? Przekształcenia powinny doprowadzić do równania kwadratowego, które należy rozwiązać.

  • Komentarz: Inny sposób określenia czasu lotu tc

    Możemy też czas całkowity tc określić jako sumę czasu wznoszenia się (oznaczmy go jako tw) i czasu spadania (oznaczmy go  ts).

    Dla ruchu w górę:

    \[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\]

    Gdy minie czas wznoszenia się tw, prędkość v(tw) = 0:

    \[0\,=\,v_1\,-\,gt_w\]

    \[t_w\,=\,\frac{v_1}{g}\]

    Dla spadania:

    \(v(t)\,=\,gt\) (spadek swobodny)

    Gdy minie czas spadania ts, prędkość v(ts) jest prędkością końcową: v(ts) = vk:

    \[v_k\,=gt_s\]

    \[t_s\,=\,\frac{v_k}{g}\]

    Całkowity czas lotu tc:

    \(t_c\,=\,t_w\,+\,t_s\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_k}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\)

    ponieważ w części b) pokazaliśmy, że v1 = vk.
  • Pełne rozwiązanie

    a) Określenie maksymalnej wysokości h:

    1. sposób: Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej:

    Przyjmijmy na powierzchni ziemi poziom zerowy energii potencjalnej. W chwili, gdy pocisk opuszcza powierzchnię ziemi, ma energię kinetyczną Ek1:

    \(E_{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\,,\)

    która jest równocześnie jego całkowitą energią mechaniczną (energia potencjalna Ep1 = 0 dle naszych warunków początkowych).

    Wznosząc się coraz wyżej, pocisk porusza się coraz wolniej, maleje jego energia kinetyczna, a rośnie potencjalna. W momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości h, jego prędkość, a więc i energia kinetyczna Ek2 wynoszą zero (Ek2 = 0) - cała początkowa energia mechaniczna zamieniła się na potencjalną Ep2:

    \(E_{p2}\,=mgh\) (gdzie g to przyspieszenie grawitacyjne).

    Zaniedbujemy opór powietrza, więc zgodnie z ZZEM:

    \(E_{k1}\,+\,E_{p1}\,=\,E_{k2}\,+\,E_{p2}\,,\)

    \(\frac{1}{2}mv_1^2\,+\,0\,=\,0\,+\,mgh\,,\) zatem:

    \(h\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\)


    2. sposób: Z równań kinematycznych:

    Ruch pocisku w górę jest jednostajnie opóźniony (rzut pionowy w górę), jest więc opisany równaniami:

    \[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]

    \[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]

    gdzie H(t) to wysokość nad ziemią w chwili t, a v(t) prędkość w chwili t.

    W momencie t = t0, gdy pocisk osiągnie maksymalną wysokość, mamy: H(t0) = h, v(t0) = 0. Zatem:

    \[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]

    \[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]

    Z drugiego równania wyznaczymy czas t0 i podstawimy do pierwszego równania:

    \[t_0 = \frac{v_1}{g}\]

    \[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]


    b) Określenie prędkości vk w momencie uderzenia w ziemię:

    Zgodnie z ZZEM energia mechaniczna pocisku pozostaje stała - a więc możemy porównać energię na początku i na końcu ruchu.

    Na początku ruchu pocisk miał tylko energię kinetyczną \(E_{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\), na końcu ruchu (w momencie uderzenia) tylko energię kinetyczną \(E_{kk}\,=\,\frac{1}{2}mv_k^2\).

    Ponieważ z ZZEM: \(E_{k1}\,=\,E_{kk}\), będziemy mieli  \(v_1\,=\,v_k\).

    Prędkość vk ma wartość taką samą jak v1, ale przeciwny zwrot.


    c) Określenie czasu lotu tc:

    1. sposób:

    Na chwilową wysokość w ruchu w górę zapiszemy:

    \[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,.\]

    W momencie t = tc (w chwili uderzenia) wysokość maleje do zera, tj.:

    \[H(t_c)\,=\,0\,.\]

    Otrzymujemy równanie kwadratowe względem czasu:

    \[0\,=\,v_1t_c\,-\,\frac{1}{2}gt_c^2\]

    \[0\,=\,t_c(v_1\,-\,\frac{1}{2}gt_c)\]

    Mamy 2 rozwiązania:

    1. \(t_{c1}\,=\,0\)… opisuje stan początkowy (t = 0; H(0) = 0)

    2. \(t_{c2}\,=\,\frac{2v_1}{g}\)… szukane rozwiązanie


    2. sposób:

    Możemy też określić czas całkowity tc jako sumę czasu wznoszenia się (oznaczmy go tw) i czasu spadania (oznaczmy go ts).

    Dla wznoszenia się :

    \(v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\)

    Po upływie czasu wznoszenia tw prędkość v(tw) = 0:

    \(0\,=\,v_1\,-\,gt_w\)

    \(t_w\,=\,\frac{v_1}{g}\)

    Dla spadania :

    \(v(t)\,=\,gt\) (spadek swobodny)

    Po upływie czasu spadania ts prędkość v(ts) równa jest prędkości końcowej: v(ts) = vk:

    \[v_k\,=gt_s\]

    \[t_s\,=\,\frac{v_k}{g}\]

    Zatem całkowity czas lotu tc :

    \[t_c\,=\,t_w\,+\,t_s\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_k}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\]

    ponieważ w części b) pokazaliśmy, że v1 = vk.
  • Odpowiedź

    a) Wzór na maksymalną wysokość:

    \[h = \frac{v_{1}^{2}}{2g}\,.\]

    b) Prędkość pocisku w chwili spadku:

    \(v_{k} = v_{1}\), prędkości mają przeciwny zwrot


    c) Całkowity czas lotu:

    \[t_{c}=\frac{2v_{1}}{g}\,.\]

Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna