Rzut pionowy w górę
Kod zadania: 1104
Z powierzchni Ziemi wystrzelono pionowo w górę pocisk artyleryjski o masie m z prędkością v1. Oblicz:
a) maksymalną wysokość h pocisku
b) prędkość vk pocisku w chwili zderzenia z ziemią
c) całkowity czas lotu pocisku tc.
Uwaga: Opór powietrza pomijamy. Pole grawitacyjne traktujemy jako jednorodne.
Podpowiedź 1
Aby znaleźć maksymalną wysokość h można stosować dwa różne sposoby - czy potrafisz podać jeden z nich?
Podpowiedź 2: Określenie maksymalnej wysokości h z ZZEM
Przyjmijmy na powierzchni Ziemi zerowy poziom energii potencjalnej. Jaki rodzaj energii ma pocisk w chwili, gdy opuszcza powierzchnię? Co się dzieje z energią przy osiągnięciu maksymalnej wysokości h?Komentarz: Inny sposób określenia maksymalnej wysokości h
Możemy też określić wysokość h z rozważań kinematycznych. Ruch pocisku jest ruchem jednostajnie opóźnionym (rzut pionowy w górę), jest więc opisany równaniami:
\[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]
\[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]
gdzie H(t) to wysokość nad ziemią w chwili t, a v(t) prędkość w chwili t.
W momencie t = t0, gdy pocisk osiągnie maksymalną wysokość, mamy: H(t0) = h, v(t0) = 0. Zatem:
\[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]
\[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]
Z drugiego równania wyznaczamy czas t0 i podstawiamy go do pierwszego równania:
\[t_0 = \frac{v_1}{g}\,,\]
\[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]
Podpowiedź 3: Określenie prędkości vk w momencie spadku:
Skorzystaj z ZZEM. Jaką całkowitą energię mechaniczną ma pocisk w momencie spadku? Porównaj ją z energią całkowitą na początku ruchu (tj. zaraz po wystrzeleniu).
Podpowiedź 4: Obliczenie całkowitego czasu tc:
Wychodząc z równań kinematycznych dla rzutu pionowego w górę, skorzystaj z zależności opisującej wysokość nad ziemią H(t) od czasu. Jaka jest ta wysokość w chwili spadku? Przekształcenia powinny doprowadzić do równania kwadratowego, które należy rozwiązać.
Komentarz: Inny sposób określenia czasu lotu tc
Możemy też czas całkowity tc określić jako sumę czasu wznoszenia się (oznaczmy go jako tw) i czasu spadania (oznaczmy go ts).
Dla ruchu w górę:
\[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\]
Gdy minie czas wznoszenia się tw, prędkość v(tw) = 0:
\[0\,=\,v_1\,-\,gt_w\]
\[t_w\,=\,\frac{v_1}{g}\]
Dla spadania:
\(v(t)\,=\,gt\) (spadek swobodny)
Gdy minie czas spadania ts, prędkość v(ts) jest prędkością końcową: v(ts) = vk:
\[v_k\,=gt_s\]
\[t_s\,=\,\frac{v_k}{g}\]
Całkowity czas lotu tc:
\(t_c\,=\,t_w\,+\,t_s\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_k}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\)
ponieważ w części b) pokazaliśmy, że v1 = vk.Pełne rozwiązanie
a) Określenie maksymalnej wysokości h:
1. sposób: Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej:
Przyjmijmy na powierzchni ziemi poziom zerowy energii potencjalnej. W chwili, gdy pocisk opuszcza powierzchnię ziemi, ma energię kinetyczną Ek1:
\(E_{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\,,\)
która jest równocześnie jego całkowitą energią mechaniczną (energia potencjalna Ep1 = 0 dle naszych warunków początkowych).
Wznosząc się coraz wyżej, pocisk porusza się coraz wolniej, maleje jego energia kinetyczna, a rośnie potencjalna. W momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości h, jego prędkość, a więc i energia kinetyczna Ek2 wynoszą zero (Ek2 = 0) - cała początkowa energia mechaniczna zamieniła się na potencjalną Ep2:
\(E_{p2}\,=mgh\) (gdzie g to przyspieszenie grawitacyjne).
Zaniedbujemy opór powietrza, więc zgodnie z ZZEM:
\(E_{k1}\,+\,E_{p1}\,=\,E_{k2}\,+\,E_{p2}\,,\)
\(\frac{1}{2}mv_1^2\,+\,0\,=\,0\,+\,mgh\,,\) zatem:
\(h\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\)
2. sposób: Z równań kinematycznych:
Ruch pocisku w górę jest jednostajnie opóźniony (rzut pionowy w górę), jest więc opisany równaniami:
\[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]
\[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]
gdzie H(t) to wysokość nad ziemią w chwili t, a v(t) prędkość w chwili t.
W momencie t = t0, gdy pocisk osiągnie maksymalną wysokość, mamy: H(t0) = h, v(t0) = 0. Zatem:
\[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]
\[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]
Z drugiego równania wyznaczymy czas t0 i podstawimy do pierwszego równania:
\[t_0 = \frac{v_1}{g}\]
\[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]
b) Określenie prędkości vk w momencie uderzenia w ziemię:
Zgodnie z ZZEM energia mechaniczna pocisku pozostaje stała - a więc możemy porównać energię na początku i na końcu ruchu.
Na początku ruchu pocisk miał tylko energię kinetyczną \(E_{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\), na końcu ruchu (w momencie uderzenia) tylko energię kinetyczną \(E_{kk}\,=\,\frac{1}{2}mv_k^2\).
Ponieważ z ZZEM: \(E_{k1}\,=\,E_{kk}\), będziemy mieli \(v_1\,=\,v_k\).
Prędkość vk ma wartość taką samą jak v1, ale przeciwny zwrot.
c) Określenie czasu lotu tc:
1. sposób:
Na chwilową wysokość w ruchu w górę zapiszemy:
\[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,.\]
W momencie t = tc (w chwili uderzenia) wysokość maleje do zera, tj.:
\[H(t_c)\,=\,0\,.\]
Otrzymujemy równanie kwadratowe względem czasu:
\[0\,=\,v_1t_c\,-\,\frac{1}{2}gt_c^2\]
\[0\,=\,t_c(v_1\,-\,\frac{1}{2}gt_c)\]
Mamy 2 rozwiązania:
\(t_{c1}\,=\,0\)… opisuje stan początkowy (t = 0; H(0) = 0)
\(t_{c2}\,=\,\frac{2v_1}{g}\)… szukane rozwiązanie
2. sposób:
Możemy też określić czas całkowity tc jako sumę czasu wznoszenia się (oznaczmy go tw) i czasu spadania (oznaczmy go ts).
Dla wznoszenia się :
\(v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\)
Po upływie czasu wznoszenia tw prędkość v(tw) = 0:
\(0\,=\,v_1\,-\,gt_w\)
\(t_w\,=\,\frac{v_1}{g}\)
Dla spadania :
\(v(t)\,=\,gt\) (spadek swobodny)
Po upływie czasu spadania ts prędkość v(ts) równa jest prędkości końcowej: v(ts) = vk:
\[v_k\,=gt_s\]
\[t_s\,=\,\frac{v_k}{g}\]
Zatem całkowity czas lotu tc :
\[t_c\,=\,t_w\,+\,t_s\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_k}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\]
ponieważ w części b) pokazaliśmy, że v1 = vk.Odpowiedź
a) Wzór na maksymalną wysokość:
\[h = \frac{v_{1}^{2}}{2g}\,.\]
b) Prędkość pocisku w chwili spadku:
\(v_{k} = v_{1}\), prędkości mają przeciwny zwrot
c) Całkowity czas lotu:
\[t_{c}=\frac{2v_{1}}{g}\,.\]
