Koszykarz

Kod zadania: 1102

Obręcz kosza na boisku do koszykówki znajduje się na wysokości h1 nad podłogą. Środek kosza znajduje się w odległości L od linii rzutów wolnych. Koszykarz wykonuje rzuty wolne, piłka opuszcza rękę w miejscu, gdzie jej centrum jest dokładnie nad linią rzutów wolnych na wysokości h2 nad podłogą.

Określimy kąt optymalny α jako taki kąt, przy którym środek piłki przechodzi przez środek obręczy, a ponadto piłce nadajemy najmniejszą możliwą prędkość początkową. Udowodnij, że wartość tego kąta określona jest wzorem α = 45˚ + β/2, gdzie β to tzw. kąt obserwacji , tj. odchylenie od płaszczyzny linii łączącej punkt zaczepienia obręczy z punktem początkowym rzutu.

Wyznacz kąt optymalny dla zadanych wielkości oraz odpowiednią wartość prędkości początkowej piłki.

Zaniedbujemy opór powietrza.

Wykonaj obliczenia dla: h1 = 3,05 m, L = 5,425 m, h2 = 2,45 m, g = 9,81 m·s-2 .

  • Zapis danych

    h1 = 3,05 m wysokość obręczy kosza nad podłogą
    L = 5,425 m pozioma odległość środka kosza od linii rzutów wolnych
    h2 = 2,45 m wysokość środka piłki nad podłogą w momencie, gdy środek piłki leży dokładnie nad linią rzutów wolnych
    α  = ?  kąt optymalny

    v0 = ? (m·s−1)

    wartość prędkości początkowej piłki odpowiednia dla kąta optymalnego
    Z tablic:

    g = 9,81 m·s−2

    przyspieszenie grawitacyjne

  • Podpowiedź 1: Pomocniczy rysunek

    Naszkicuj pomocniczy rysunek, zaznaczając kąt optymalny i kąt obserwacji, odległość L i wysokość obręczy kosza nad miejscem wyrzucenia piłki.

  • Podpowiedź 2: Ruch piłki w kierunku poziomym i pionowym

    Jakim ruchem porusza się piłka w kierunku poziomym? Jakim w kierunku pionowym?

  • Podpowiedź 3: Prędkość piłki w kierunku poziomym i pionowym

    Jaka jest pozioma prędkość piłki i jak zmienia się w czasie x-owa składowa jej położenia?

    Jaka jest pionowa prędkość piłki i jak zmienia się w czasie y-owa składowa jej położenia?

    Jakie wartości będą mieć współrzędne x i y w chwili, gdy piłka doleci do obręczy kosza? Zapisz odpowiednie wzory i wyznacz z nich kwadrat początkowej prędkości v02(skorzystaj też ze związku tgβ = H/L).

  • Podpowiedź 4: Minimalna wartość wyrażenia

    Dla jakiego kąta α wartość wyrażenia v02 będzie minimalna?

  • Podpowiedź 5: Prędkość początkowa dla kąta optymalnego

    Określ prędkość początkową v0 dla kąta optymalnego α, a więc w przypadku, gdy sin(2αβ) = 1. Sinus i cosinus kąta β można wyrazić poprzez odległości H i L.

  • PEŁNE ROZWIĄZANIE

    Oznaczmy przez L i H poziomą i pionową odległość środka obręczy od punktu początkowego, α kąt optymalny, β kąt obserwacji, t czas lotu, v0 prędkość początkowa piłki, v prędkość piłki w chwili wpadania do kosza (patrz rysunek 1,2).

     

    Rysunek 1:

     

    Koszykarz

    \[H = h_1 - h_2\]

     

    Rysunek 2:

     

    Koszykarz

     

    W kierunku poziomym piłka porusza się ruchem jednostajnym. W kierunku pionowym ruch piłki opisujemy jako rzut pionowy w górę.

    Będziemy mieli:

    \[v_x=v_0\cos\alpha\,,\] \[v_y=v_0\sin\alpha-gt\,,\] \[x=v_0t\cos\alpha\,,\] \[y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}\,.\]  

    W chwili, gdy piłka doleci do obręczy kosza:

    \[x=L=v_0t\cos\alpha\,.\]

    Stąd:

    \[t=\frac{L}{v_0\cos\alpha}\,,\] \[y=H=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}=Ltg\alpha-\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,.\]

    I dalej:

    \[\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha} = Ltg\alpha- H\,,\] \[\frac{gL^{2}}{Ltg\alpha- H} = 2v_0^{2}\cos^{2}\alpha\,,\] \[v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(Ltg\alpha-H)\cos^{2}\alpha}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Hcos^{2}\alpha)}\,.\]

    Po podstawieniu \(H=Ltg\beta\)  i przekształceniach otrzymujemy:

    \[v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Ltg\beta\cos^{2}\alpha)}=\frac{gL}{sin2\alpha-tg\beta(1+\cos2\alpha)}\,,\] \[v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{\sin2\alpha\cos\beta-\sin\beta-\sin\beta\cos2\alpha}=\frac{gL\cos\beta}{\sin(2\alpha-\beta)-\sin\beta}\,.\]

     

    Uwaga: W przekształceniach korzystamy ze wzorów trygonometrycznych:

    \[2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha\,,\] \[\cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha\,,\] \[\sin(2\alpha-\beta) = sin2\alpha\cos\beta - cos2\alpha\sin\beta\,.\]

     

    Wartość wyrażenia będzie najmniejsza, gdy mianownik osiągnie wartość maksymalną, czyli dla:

    \[\sin(2\alpha-\beta)=1\,,\] \[2\alpha-\beta=90^{\circ}\,.\]

    Skąd:

    \[\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,.\]

    W takim przypadku:

    \[v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{1-\sin\beta}\,.\]

    Będziemy mieli:

    \[\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,, \] \[\sin\beta = \frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,. \]

    Podstawmy    \(H = h_1 - h_2\)  :

    \[\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,, \] \[\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.\]

    Wtedy:

    \[v_0^{2}=\frac{\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}{1-\frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}=\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}-H}=g\left(\sqrt{H^{2}+L^{2}}+H\right)\,.\]

    Podstawmy     \(H = h_1 - h_2\)  :

    \[v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.\]

    Dla zadanych wartości liczbowych:

    \[\sin\beta = \frac{3{,}05-2{,}45}{\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}}\] Stąd wynika:  \(\beta\dot{=}6^{\circ}\)   Wówczas: \[\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,,\] \[\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.\] I dalej: \[v_0^{2}=9{,}81\left(\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}+(3{,}05 - 2{,}45)\right)\,\mathrm{m^{2}.s^{-2}}\,,\] \[v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m.s^{-1}}\,.\]
  • Odpowiedź

    Kąt optymalny dla rzutu wynosi:

    \(\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\)     ,   gdzie      \(\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,. \)

    Dla zadanych wartości:    \(\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.\)

    Odpowiednia wartość prędkości początkowej piłki wynosi:

    \[v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.\]

    Dla zadanych wartości:

    \[v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m.s^{-1}}\,.\]
Poziom: Poziom 3 – Szkoła średnia (liceum)