Zbiór rozwiązanych zadań i problemów fizycznych

Koszykarz

Kod zadania: 1102

• Zapis danych

  h1 = 3,05 m	wysokość obręczy kosza nad podłogą
  L = 5,425 m	pozioma odległość środka kosza od linii rzutów wolnych
  h2 = 2,45 m	wysokość środka piłki nad podłogą w momencie, gdy środek piłki leży dokładnie nad linią rzutów wolnych
  α  = ?	kąt optymalny
  v0 = ? (m·s−1)	wartość prędkości początkowej piłki odpowiednia dla kąta optymalnego
  Z tablic:
  g = 9,81 m·s−2	przyspieszenie grawitacyjne

• Podpowiedź 1: Pomocniczy rysunek

  Naszkicuj pomocniczy rysunek, zaznaczając kąt optymalny i kąt obserwacji, odległość L i wysokość obręczy kosza nad miejscem wyrzucenia piłki.

• Rozwiązanie podpowiedzi 1

  Oznaczmy przez L i H poziomą i pionową odległość środka obręczy od punktu wyrzutu, α kąt optymalny, β kąt obserwacji, t czas lotu, v₀ prędkość początkowa piłki, v prędkość piłki wpadającej do kosza (patrz rysunek 1,2).

   

  Rysunek 1:

   

  

  $$H = h_1 - h_2$$

   

  Rysunek 2:

   

  

   

• Podpowiedź 2: Ruch piłki w kierunku poziomym i pionowym

  Jakim ruchem porusza się piłka w kierunku poziomym? Jakim w kierunku pionowym?

• Rozwiązanie podpowiedzi 2

  W kierunku poziomym piłka porusza się ruchem jednostajnym. W kierunku pionowym mamy do czynienia z rzutem pionowym w górę.

• Podpowiedź 3: Prędkość piłki w kierunku poziomym i pionowym

  Jaka jest pozioma prędkość piłki i jak zmienia się w czasie x-owa składowa jej położenia?

  Jaka jest pionowa prędkość piłki i jak zmienia się w czasie y-owa składowa jej położenia?

  Jakie wartości będą mieć współrzędne x i y w chwili, gdy piłka doleci do obręczy kosza? Zapisz odpowiednie wzory i wyznacz z nich kwadrat początkowej prędkości v₀²(skorzystaj też ze związku tgβ = H/L).

• Rozwiązanie podpowiedzi 3

  Zapiszmy równania:

  $$v_x=v_0\cos\alpha\,,$$ $$v_y=v_0\sin\alpha-gt\,,$$ $$x=v_0t\cos\alpha\,,$$ $$y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}\,.$$

   

  W chwili, gdy piłka doleci do obręczy kosza, będziemy mieli:

  $x=L=v_0t\cos\alpha$,      stąd:   $t=\frac{L}{v_0\cos\alpha}\,,$

  $y=H=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}=Ltg\alpha-\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,.$

  Po przekształceniach:

  $$\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha} = Ltg\alpha- H\,,$$ $$\frac{gL^{2}}{Ltg\alpha- H} = 2v_0^{2}\cos^{2}\alpha\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(Ltg\alpha-H)\cos^{2}\alpha}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Hcos^{2}\alpha)}\,.$$  

  Po podstawieniu $H=Ltg\beta$  i przekształceniach otrzymamy:

  $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Ltg\beta\cos^{2}\alpha)}=\frac{gL}{sin2\alpha-tg\beta(1+\cos2\alpha)}\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{\sin2\alpha\cos\beta-\sin\beta-\sin\beta\cos2\alpha}=\frac{gL\cos\beta}{\sin(2\alpha-\beta)-\sin\beta}\,.$$  

  Uwaga: W przekształceniach skorzystaliśmy ze wzorów trygonometrycznych:

   

  $$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha\,,$$ $$\cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha\,,$$ $$\sin(2\alpha-\beta) = sin2\alpha\cos\beta - cos2\alpha\sin\beta\,.$$

   

• Podpowiedź 4: Minimalna wartość wyrażenia

  Dla jakiego kąta α wartość wyrażenia v₀² będzie minimalna?

• Rozwiązanie podpowiedzi 4

  Wartość wyrażenia będzie minimalna przy maksymalnej wartości mianownika, czyli dla:

  $$\sin(2\alpha-\beta)=1\,,$$ $$2\alpha-\beta=90^{\circ}\,,$$

  stąd wynika:

  $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,.$$

• Podpowiedź 5: Prędkość początkowa dla kąta optymalnego

  Określ prędkość początkową v₀ dla kąta optymalnego α, a więc w przypadku, gdy sin(2α−β) = 1. Sinus i cosinus kąta β można wyrazić poprzez odległości H i L.

• Rozwiązanie podpowiedzi 5

  W tym przypadku:

   

  $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{1-\sin\beta}\,.$$

   

  Będziemy mieli:

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,.$$

   

  podstawiając        $H = h_1 - h_2$  :

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.$$

   

  Wobec tego:

  $$v_0^{2}=\frac{\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}{1-\frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}=\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}-H}=g\left(\sqrt{H^{2}+L^{2}}+H\right)\,.$$

   

  po podstawieniu   $H = h_1 - h_2$  :

  $$v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.$$

   

  Dla zadanych wartości liczbowych:

  $$\sin\beta = \frac{3{,}05-2{,}45}{\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}}\,.$$ Stąd wynika:  $\beta\dot{=}6^{\circ}$   Mamy więc: $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,,$$ $$\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.$$ I dalej: $$v_0^{2}=9{,}81\left(\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}+(3{,}05 - 2{,}45)\right)\,\mathrm{m^{2}.s^{-2}}\,,$$ $$v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m.s^{-1}}\,.$$

• PEŁNE ROZWIĄZANIE

  Oznaczmy przez L i H poziomą i pionową odległość środka obręczy od punktu początkowego, α kąt optymalny, β kąt obserwacji, t czas lotu, v₀ prędkość początkowa piłki, v prędkość piłki w chwili wpadania do kosza (patrz rysunek 1,2).

   

  Rysunek 1:

   

  

  $$H = h_1 - h_2$$

   

  Rysunek 2:

   

  

   

  W kierunku poziomym piłka porusza się ruchem jednostajnym. W kierunku pionowym ruch piłki opisujemy jako rzut pionowy w górę.

  Będziemy mieli:

  $$v_x=v_0\cos\alpha\,,$$ $$v_y=v_0\sin\alpha-gt\,,$$ $$x=v_0t\cos\alpha\,,$$ $$y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}\,.$$  

  W chwili, gdy piłka doleci do obręczy kosza:

  $$x=L=v_0t\cos\alpha\,.$$

  Stąd:

  $$t=\frac{L}{v_0\cos\alpha}\,,$$ $$y=H=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^{2}=Ltg\alpha-\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,.$$

  I dalej:

  $$\frac{gL^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha} = Ltg\alpha- H\,,$$ $$\frac{gL^{2}}{Ltg\alpha- H} = 2v_0^{2}\cos^{2}\alpha\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(Ltg\alpha-H)\cos^{2}\alpha}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Hcos^{2}\alpha)}\,.$$

  Po podstawieniu $H=Ltg\beta$  i przekształceniach otrzymujemy:

  $$v_0^{2}=\frac{gL^{2}}{2(L\sin\alpha\cos\alpha-Ltg\beta\cos^{2}\alpha)}=\frac{gL}{sin2\alpha-tg\beta(1+\cos2\alpha)}\,,$$ $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{\sin2\alpha\cos\beta-\sin\beta-\sin\beta\cos2\alpha}=\frac{gL\cos\beta}{\sin(2\alpha-\beta)-\sin\beta}\,.$$

   

  Uwaga: W przekształceniach korzystamy ze wzorów trygonometrycznych:

  $$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha\,,$$ $$\cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha\,,$$ $$\sin(2\alpha-\beta) = sin2\alpha\cos\beta - cos2\alpha\sin\beta\,.$$

   

  Wartość wyrażenia będzie najmniejsza, gdy mianownik osiągnie wartość maksymalną, czyli dla:

  $$\sin(2\alpha-\beta)=1\,,$$ $$2\alpha-\beta=90^{\circ}\,.$$

  Skąd:

  $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,.$$

  W takim przypadku:

  $$v_0^{2}=\frac{gL\cos\beta}{1-\sin\beta}\,.$$

  Będziemy mieli:

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}\,.$$

  Podstawmy    $H = h_1 - h_2$  :

  $$\cos\beta = \frac{L}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,,$$ $$\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.$$

  Wtedy:

  $$v_0^{2}=\frac{\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}{1-\frac{H}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}}}=\frac{gL^{2}}{\sqrt{H^{2}+L^{2}}-H}=g\left(\sqrt{H^{2}+L^{2}}+H\right)\,.$$

  Podstawmy     $H = h_1 - h_2$  :

  $$v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.$$

  Dla zadanych wartości liczbowych:

  $$\sin\beta = \frac{3{,}05-2{,}45}{\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}}$$ Stąd wynika:  $\beta\dot{=}6^{\circ}$   Wówczas: $$\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}\,,$$ $$\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.$$ I dalej: $$v_0^{2}=9{,}81\left(\sqrt{(3{,}05 - 2{,}45)^{2}+5{,}425^{2}}+(3{,}05 - 2{,}45)\right)\,\mathrm{m^{2}.s^{-2}}\,,$$ $$v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m.s^{-1}}\,.$$

• Odpowiedź

  Kąt optymalny dla rzutu wynosi:

  $\alpha=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}$     ,   gdzie      $\sin\beta = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}}\,.$

  Dla zadanych wartości:    $\alpha\dot{=}48^{\circ}\,.$

  Odpowiednia wartość prędkości początkowej piłki wynosi:

  $$v_0^{2}=g\left(\sqrt{(h_1 - h_2)^{2}+L^{2}}+(h_1 - h_2)\right)\,.$$

  Dla zadanych wartości:

  $$v_0\dot{=}7{,}7\,\mathrm{m.s^{-1}}\,.$$