Samolot ratunkowy

Kod zadania: 1100

Samolot ratunkowy leci na pomoc tonącemu. Pilot utrzymuje stałą wysokość 1 200 m nad powierzchnią wody i kieruje się prosto nad głowę tonącego (patrz rysunek). Prędkość samolotu ma wartość 430 km·h−1.

Przy jakiej wartości kąta widzenia pilot powinien uwolnić kamizelkę ratunkową, aby spadła ona jak najbliżej tonącego?

Zaniedbujemy opór powietrza.

Obrázek celé situace
  • Zapis danych

    h = 1 200 m wysokość samolotu nad powierzchią wody
    v = 430 km·h−1 prędkość samolotu
    ψ = ? (°) kąt widzenia
    Z tablic:
    g = 9,81 m·s−2 przyspieszenie grawitacyjne
  • Podpowiedź 1: Prędkość początkowa ładunku

    Jaka jest prędkość początkowa ładunku (kamizelki)?

  • Podpowiedź 2: Czas spadania ładunku na powierzchnię wody

    Jakim ruchem poruszać się będzie w kierunku pionowym ładunek po uwolnieniu?

    Jak określić jego czas spadania  t  na powierzchnię wody, jeśli znamy wysokość  h , z której go wypuszczono?

  • Podpowiedź 3: Zasięg  L

    Jakim ruchem porusza się ładunek w kierunku poziomym?

    Jaki będzie zasięg L jego lotu w czasie t, kiedy to spadać będzie na powierzchnię wody? Czas spadania t określiliśmy w poprzedniej podpowiedzi.

  • Podpowiedź 4: Kąt widzenia ψ

    Jak określisz wartość kąta widzenia ψ, przy którym pilot musi uwolnić ładunek tak, aby spadł on jak najbliżej tonącego?

    Spójrz na rysunek. Jaką funkcję trygonometryczną możesz wykorzystać w rozwiązaniu?

    Jakie wielkości będą potrzebne do obliczenia kąta widzenia ψ ? Czy je znamy?

  • PEŁNE ROZWIĄZANIE:

    Prędkość początkowa ładunku jest taka sama jak prędkość samolotu. Ma więc wartość \(v\).

    Ponieważ nie uwzględniamy oporu powietrza, ładunek spada w kierunku pionowym swobodnie (ruchem jednostajnie przyspieszonym).

    Ponieważ wiemy, na jakiej wysokości ładunek uwolniono, możemy określić czas jego spadania na powierzchnię wody. W kierunku osi y zapiszemy:

    \[-h\,=\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}\,,\]

    więc:

    \[h\,=\,\frac{1}{2}gt^{2}\,.\]

    (w kierunku osi y na ładunek działa tylko siła grawitacji).

    Po przekształceniu wzoru otrzymujemy czas ruchu t :

    \[t\,=\,\sqrt{\frac{2h}{g}}\,.\]

     

    W kierunku poziomym ładunek (i samolot) porusza się ze stałą prędkością v.

    W czasie ruchu ładunek oddali się więc w kierunku poziomym na odległość:

    \[L\,=\,vt\,.\]

    Po podstawieniu za t otrzymujemy:

    \[L\,=\,v\sqrt{\frac{2h}{g}}\,.\]

     

    Metoda obliczenia kąta widzenia ψ wynika z rysunku.

    Skorzystamy z funkcji trygonometrycznej tangens.

    Do obliczenia powinniśmy znać odległość  L , na którą oddali się ładunek w czasie  t  spadania swobodnego oraz wysokość, z której spada. Obie wielkości znamy.

     

    Zachodzi:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\frac{L}{h}=\frac{v\sqrt{\frac{2h}{g}}}{h}=v\sqrt{\frac{2}{hg}}\,.\]

     

    Po podstawieniu wartości liczbowych:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\frac{430 \,000}{3\, 600}\sqrt{\frac{2}{1 \,200{\cdot}9{,}81}}\,\dot=\, 1{,}556\,,\] \[\psi\,=\,57^{\circ}\,.\]

     

    Uwaga: Prędkość pozioma ładunku jest w każdej chwili taka sama jak prędkość samolotu, tak więc pilot ma cały czas ładunek pod sobą.

     

  • Odpowiedź

    Aby ładunek spadł jak najbliżej tonącego, pilot musi go uwolnić przy kącie widzenia ψ, dla którego:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,v\,\sqrt{\frac{2}{hg}}\,\dot=\,1{,}556\,,\] \[\psi\,=\,57^{\circ}\,.\]
Poziom: Poziom 2 – Szkoła ponadgimnazjalna
Task requires extra constants